[論文レビュー] Complete Conjugacy Invariants of Nonlinearizable Holomorphic Dynamics

Kingshook Biswas|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無理数的中立的固定点における非線形化不可能な正則関手の共役類が、その回転数とハリゲンの形相類型——最大で、不変で、連結なコンパクト集合——によって完全に決定されることを確立している。2つのこのような関手が可換であるための必要十分条件は、共通のハリゲンを持つことであると証明し、Diff(ℂ,0)における非線形化不可能な最大アーベル部分群とハリゲンの関手の間の1対1対応を構成することで、ハリゲンが完全な共役不変量であることを示している。

ABSTRACT

Perez-Marco proved the existence of non-trivial totally invariant connected compacts called hedgehogs near the fixed point of a nonlinearizable germ of holomorphic diffeomorphism. We show that if two nonlinearisable holomorphic germs with a common indifferent fixed point have a common hedgehog then they must commute. This allows us to establish a correspondence between hedgehogs and nonlinearizable maximal abelian subgroups of Diff$(\bf C,0)$. We also show that two nonlinearizable germs are conjugate if and only if their rotation numbers are equal and a hedgehog of one can be mapped conformally onto a hedgehog of the other. Thus the conjugacy class of a nonlinearizable germ is completely determined by its rotation number and the conformal class of its hedgehogs.

研究の動機と目的

• 非線形化不可能な正則関手が無理数的中立的固定点を持つ場合の共役類を特徴づけること。
• 回転数だけでは不十分な、このような関手の完全な不変量のセットを確立すること。
• ハリゲン——非線形化可能でないが、完全に不変なコンパクト集合——が動的対象としての根幹的役割を果たすことを明確にすること。
• 2つの非線形化不可能な関手が可換であるための必要十分条件は、共通のハリゲンを保存することであることを証明すること。
• Diff(ℂ,0)における非線形化不可能な最大アーベル部分群とハリゲンの関手との間の双対的対応を構成すること。

提案手法

• ハリゲンに関するPerez-Marcoの結果——内部が空で、複素トポロジーを持つ完全に不変な連結コンパクト集合——を活用する。
• 恒等関手に接する関手がハリゲンを保存するならば、それは恒等関手でなければならないという定理3.1を応用し、可換性を証明する。
• 共通のハリゲンを保存する関手は互いに可換であり、逆に可換な関手は同じハリゲンを保存することを用いる。
• 非線形化不可能な関手の中心化群を用いて、ハリゲンの関手と最大アーベル部分群の間の対応を構成する。
• ハリゲンの形相類型を、ハリゲンの近傍間の正則写像を用いて定義する。
• 2つの非線形化不可能な関手が共役であるための必要十分条件は、回転数が等しく、ハリゲンが形相的に同型であることであることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形化不可能な正則関手が中立的固定点を持つ場合、その共役類を完全に決定する条件は何か？
• RQ2 線形化領域以外の不変コンパクト集合を用いて、非線形化不可能な関手の力学を分類できるか？
• RQ3 Diff(ℂ,0)における非線形化不可能な最大アーベル部分群とハリゲンの関手との間に1対1対応があるか？
• RQ4 2つの非線形化不可能な関手が可換となる条件は何か？
• RQ5 ハリゲンの形相幾何学は、関連する正則関手の共役性とどのように関係するか？

主な発見

• 2つの非線形化不可能な関手が共役であるための必要十分条件は、回転数が等しく、一方のハリゲンを他方のハリゲンに形相的に写像できることである。
• 2つの非線形化不可能な関手が共通のハリゲンを保存するならば、それらは可換で、その交換子は恒等関手である。
• Diff(ℂ,0)における非線形化不可能な最大アーベル部分群とハリゲンの関手との間に双対的対応が存在する。
• 任意の非線形化不可能な関手の中心化群は、その関連するハリゲンの関手の自己同型群と同型である。
• 回転数とハリゲンの形相類型は、非線形化不可能な関手の完全な共役不変量を形成する。
• 部分群とハリゲンの間の対応は、Diff(ℂ,0)の元による共役作用のもとで保存されるため、ハリゲンの関手は完全な共役不変量である。