[論文レビュー] Complete Constant Mean Curvature surfaces and Bernstein type Theorems in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$

José M. Espinar, Harold Rosenberg|ArXiv.org|Aug 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$Μ^2 \times \mathbb{R}$ 内の完全な定平均曲率（CMC）超曲面を、角関数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ の符号が一定であるという条件下で分類する。$H \neq 0$ で、射影 $c(\Sigma)$ のガウス曲率の下限が $0$ 以上であるとき、超曲面は、ガウス曲率 $2H$ の完全な曲線を底面とする垂直シリンダーである。$c(\Sigma) < 0$ で $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ であるとき、超曲面は、定数ガウス曲率 $2H$ の完全な曲線を底面とする垂直シリンダーであり、これが最適であることが示される。$H = 0$ の場合、超曲面は垂直平面、水平スライス、または $\u039c^2$ が平坦な場合の傾いた平面である。

ABSTRACT

In this paper we study constant mean curvature surfaces $Σ$ in a product space, $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, where $\mathbb{M}^2$ is a complete Riemannian manifold. We assume the angle function $ν= \meta{N}{\partial_t}$ does not change sign on $Σ$. We classify these surfaces according to the infimum $c(Σ)$ of the Gaussian curvature of the projection of $Σ$. When $H eq 0$ and $c(Σ)\geq 0$, then $Σ$ is a cylinder over a complete curve with curvature 2H. If H=0 and $c(Σ) \geq 0$, then $Σ$ must be a vertical plane or $Σ$ is a slice $\mathbb{M}^2 imes {t}$, or $\mathbb{M}^2 \equiv \mathbb{R}^2$ with the flat metric and $Σ$ is a tilted plane (after possibly passing to a covering space). When $c(Σ)&lt;0$ and $H&gt;\sqrt{-c(Σ)} /2$, then $Σ$ is a vertical cylinder over a complete curve of $\mathbb{M}^2$ of constant geodesic curvature $2H$. This result is optimal. We also prove a non-existence result concerning complete multi-graphs in $\mathbb{M}^2 imes \mathbb{R}$, when $c(\mathbb{M}^2)&lt;0$.

研究の動機と目的

• 完全な定平均曲率（CMC）超曲面を、$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 内で角関数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ の符号が一定であるという条件下で分類すること。
• 超曲面 $\Sigma$ の $\mathbb{M}^2$ への射影のガウス曲率の下限 $c(\Sigma)$ に基づいた、このような超曲面の幾何的制約を特定すること。
• $\mathbb{R}^3$ における古典的なバーナンスタイン型定理を、特に $H \neq 0$ および $H = 0$ の場合に、$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ の積空間へ拡張すること。
• $c(\mathbb{M}^2) < 0$ で $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ のとき、$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 内に整関数グラフが存在しないことを証明すること。

提案手法

• 角関数 $\nu = \langle N, \partial_t \rangle$ が符号を変化させないという条件は、$\mathbb{R}^3$ におけるガウス写像が閉じた半球に位置することの一般化である。
• 表面の分類に用いられる主要な幾何的不変量は $c(\Sigma) = \inf\{ \kappa(\pi(p)) \mid p \in \Sigma \}$ であり、これは基底多様体 $\mathbb{M}^2$ の曲率に基づく。
• 候補となる表面の安定性を解析するために、安定性作用素 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ が用いられる。特に垂直シリンダーに対して適用される。
• 最大値原理を用いた背理法により、不安定な構成が除外される。コンパクト領域の変種を用いて、表面が漸近的極限に接することなく、平均曲率の比較が破られないように示される。
• 手法は [HRS] の技術に類似しており、$\mathbb{R}^3$ における Hoffman, Osserman, Schoen の結果を積空間へ一般化する。
• 分類は $c(\Sigma)$ の符号に基づき、$H = 0$ と $H \neq 0$ の場合にそれぞれ異なる結果を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $c(\Sigma)$ と $H$ がどのような条件下で、角関数の符号が一定な $\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 内の完全 $H$-超曲面が、定数ガウス曲率 $2H$ の完全な曲線を底面とする垂直シリンダーになるか？
• RQ2 $c(\Sigma) \geq 0$ で $H = 0$ の場合、分類はどのように変化するか？ 超曲面は平面やスライスのままであるか、それとも傾いた平面になり得るか？
• RQ3 $c(\mathbb{M}^2) < 0$ で $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ のとき、$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 内に定数平均曲率 $H$ の整関数グラフが存在するか？
• RQ4 $c(\Sigma) < 0$ の場合に、$H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ という条件が、シリンダ分類に対して最適であるか？
• RQ5 安定性作用素 $J = \Delta + |A|^2 + \text{Ric}(\vec{n})$ は、非シリンダ型超曲面を除外するためにどのように役立つか？

主な発見

• $H \neq 0$ で $c(\Sigma) \geq 0$ のとき、超曲面 $\Sigma$ は、$\mathbb{M}^2$ 内の定数ガウス曲率 $2H$ の完全な曲線を底面とする垂直シリンダーである。
• $H = 0$ で $c(\Sigma) \geq 0$ のとき、$\Sigma$ は垂直平面、水平スライス $\mathbb{M}^2 \times \{t\}$、または $\mathbb{M}^2 \cong \mathbb{R}^2$ で平坦な計量のときの傾いた平面のいずれかである。
• $c(\Sigma) < 0$ で $H > \sqrt{-c(\Sigma)}/2$ のとき、$\Sigma$ は、$\mathbb{M}^2$ 内の定数ガウス曲率 $2H$ の完全な曲線を底面とする垂直シリンダーであり、この結果は最適である。
• $c(\mathbb{M}^2) < 0$ で $H > \sqrt{-c(\mathbb{M}^2)}/2$ のとき、$\mathbb{M}^2 \times \mathbb{R}$ 内に定数平均曲率 $H$ の整関数グラフは存在しない。これは鋭い非存在結果を示している。
• 垂直シリンダー $Q = \widetilde{C} \times \mathbb{R}$ 上の安定性作用素 $J$ は $J = \Delta + a$ で表され、$a = 4H^2 + \kappa > 0$ である。大域的な領域では不安定性が示され、最大値原理により矛盾が生じる。
• 分類結果は、$\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 内に存在するアンデュロイド型の表面が曲率の境界に達する例によって、鋭いものであることが示されている。