[論文レビュー] Complete integrability of Nonlocal Nonlinear Schrödinger equation

Vladimir S. Gerdjikov, Avadh Saxena|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、Lax作用素の二乗固有関数の完全性を証明し、ポテンシャルの変動を作用角変数に写像するシンプレクティック基底を構成することで、非局所非線形シュレーディンガー方程式のクラスの完全可積分性を確立する。主な結果は、非局所NLS階層が完全可積分であり、作用角変数が散乱データによってパrameter化され、これらの変数においてシンプレクティック形式が正準的であることで、逆散乱変換を一般化されたフーリエ変換として用いたハミルトニアン構造の解析が可能になることである。

ABSTRACT

Based on the completeness relation for the squared solutions of the Lax operator $L$ we show that a subset of nonlocal equations from the hierarchy of nonlocal nonlinear Schrödinger equations (NLS) is a completely integrable system. The spectral properties of the Lax operator indicate that there are two types of soliton solutions. The relevant action-angle variables are parametrized by the scattering data of the Lax operator. The notion of the symplectic basis, which directly maps the variations of the potential of $L$ to the variations of the action-angle variables has been generalized to the nonlocal case. We also show that the inverse scattering method can be viewed as a generalized Fourier transform. Using the trace identities and the symplectic basis we construct the hierarchy Hamiltonian structures for the nonlocal NLS equations.

研究の動機と目的

• AKNS階層内における非局所非線形シュレーディンガー方程式の完全可積分性を確立すること。
• Lax作用素のスペクトル的性質を用いて、シンプレクティック基底と作用角変数を非局所状況に一般化すること。
• 逆散乱変換がこの文脈において一般化されたフーリエ変換として機能することを示すこと。
• トレース恒等式とシンプレクティック形式を用いて、ハミルトニアン構造の階層を構築すること。

提案手法

• Lax作用素 $ L $ の二乗解の完全性関係を導出し、ポテンシャルおよびその変動の展開を可能にする。
• ポテンシャル $ \delta q $ の変動を作用角変数の変動に写像する一般化されたシンプレクティック基底を導入する。
• 再帰作用素を用いて二乗解から固有関数を生成し、スペクトル分解における完全性を保証する。
• ロンスキアン関係を用いて、ポテンシャル $ q $、その変動 $ \delta q $、および散乱データの間の写像を定義する。
• トレース恒等式とシンプレクティック基底を用いて、ポisson括弧およびシンプレクティック形式 $ \Omega_{(m)}^\mathbb{C} $ の階層を構築する。
• 正準シンプレクティック形式 $ \Omega_{(0)} $ および高次形式 $ \Omega_{(2m-1)} $ を作用角変数の言語で表現し、それらの正準的構造を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lax作用素のスペクトル論を用いて、非局所NLS方程式が完全可積分であることが示せるか？
• RQ2 非局所NLS系における作用角変数は、Lax作用素の散乱データとどのように関係するか？
• RQ3 非局所設定において、シンプレクティック基底がポテンシャルの変動を作用角変数の変動に写像する役割を果たすか？
• RQ4 この文脈において、逆散乱変換はどのように一般化されたフーリエ変換として解釈できるか？
• RQ5 構築された作用角変数に関して、シンプレクティック形式 $ \Omega_{(m)} $ は正準的か？

主な発見

• 非局所NLS方程式は、Lax作用素の二乗解の完全性を証明することで、完全可積分系であることが示された。
• シンプレクティック基底は非局所状況に一般化され、$ \delta q $ から作用角変数の変動への直接的写像を可能にした。
• シンプレクティック基底と二乗固有関数の完全性を用いて、逆散乱変換は一般化されたフーリエ変換として解釈された。
• シンプレクティック形式 $ \Omega_{(m)} $ の階層は、作用角変数 $ \{ \eta(\lambda), \kappa(\lambda) \} $ に関して正準的形をとることを確認し、可積分性を裏付けた。
• 作用変数 $ \eta(\lambda) $ および $ \kappa(\lambda) $ は $ t $-不変であり、散乱データによってパラメータ化されており、スぺクトル的性質から二種類のソリトン解が生じる。
• シンプレクティック形式 $ \Omega_{(0)} $ は作用角変数に関して正準的であり、ハミルトニアン $ H_{(0)} $ は作用変数のみに依存するため、可積分構造が確認された。