[論文レビュー] Complete intersection Calabi--Yau manifolds with respect to homogeneous vector bundles on Grassmannians

Daisuke Inoue, Atsushi Ito+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、グラスマンニアン上の不変で全的に生成される単純な同調的ベクトルバンドルの直和の一般的全域切断の零点として生じる完全交差カルラビ–ヤウ 3次元多様体を、クーチレの方法の一般化を用いて分類している。21個のこのような3次元多様体の完全なリストを提示し、それらのトポロジー的不変量と、クリープント解消や射影空間の積または正規直交グラスマンニアンへの埋め込みを含む代替的幾何的記述を計算している。

ABSTRACT

Based on the method by [Küc95], we give a procedure to list up all complete intersection Calabi--Yau manifolds with respect to direct sums of irreducible homogeneous vector bundles on Grassmannians for each dimension. In particular, we give a classification of such Calabi--Yau 3-folds and determine their topological invariants. We also give alternative descriptions for some of them.

研究の動機と目的

• グラスマンニアン上の全的に生成される同調的ベクトルバンドルの零点として生じる完全交差カルラビ–ヤウ 3次元多様体を体系的に列挙すること。
• クーチレのフェノ 4次元多様体の分類を、ベクトルバンドルの拡張を用いてカルラビ–ヤウ 3次元多様体へ拡張すること。
• 各カルラビ–ヤウ 3次元多様体について、ホッジ数、チャーン類、ベッチ数などのトポロジー的不変量を計算し、表形式で提示すること。
• クリープント解消や射影空間の積、または正規直交グラスマンニアンへの埋め込みを含む、代替的幾何的記述を提供すること。
• これらのカルラビ–ヤウ 3次元多様体の中で、rigid（つまり h^{1,1} = 1）であるものと、非自明な変形を許容するものの区別をすること。

提案手法

• ムカイのベルティーニ型定理を適応し、グラスマンニアン上のベクトルバンドルの一般的全域切断の零点が滑らかであることを保証すること。
• フェノ 4次元多様体のクーチレの方法（1995年）を、正則標準バンドルが自明であることを要件としてカルラビ–ヤウ 3次元多様体に拡張して用いること。
• チャーン類の公式とグラスマンニアン上のシューベルト計算を用いてトポロジー的不変量を計算し、特に普遍部分バンドル S と商バンドル Q を用いること。
• ポルテウスの公式を用いて、特異完全交差のクリープント解消における例外的曲線の数を計算すること。
• 既知の双有理幾何の結果（例えば、P^5 におけるヴェロネーゼ曲面に沿った吹き上げの記述）を応用し、代替モデルを同定すること。
• 既知の同型写像（例えば、Z_{Sym^2 S*} ⊂ G(4,8) が OG(4,8) の2つのコピーに同型であること）を活用し、幾何的実現を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラスマンニアン上の単純で全的に生成される同調的ベクトルバンドルの直和が、自明な正則標準バンドルを持つ滑らかで完全交差カルラビ–ヤウ 3次元多様体を生じるか？
• RQ2 このようなカルラビ–ヤウ 3次元多様体について、H^3、c_2.H、c_3、h^{1,1} などのトポロジー的不変量を体系的にどのように計算できるか？
• RQ3 クリープント解消や射影空間の積への埋め込みを含む、これらのカルラビ–ヤウ 3次元多様体の代替的幾何的モデルは何か？
• RQ4 これらのカルラビ–ヤウ 3次元多様体の中で、rigid（つまり h^{1,1} = 1）であるものと、非自明なモジュライを持つものはどれか？
• RQ5 クリープント解消の例外的部分多様体は、周囲のグラスマンニアンとベクトルバンドル構造の幾何とどのように関係しているか？

主な発見

• 本論文は、グラスマンニアン内に存在する21個の異なる完全交差カルラビ–ヤウ 3次元多様体の完全なリストを提示しており、これらはすべて単純な同調的ベクトルバンドルの直和の一般的全域切断の零点として生じる。
• 21個すべてのカルラビ–ヤウ 3次元多様体は滑らかで、ベクトルバンドルのランクに等しい余次元の完全交差であり、自明な正則標準バンドルを持つ。
• 21個のうち18個のカルラビ–ヤウ 3次元多様体についてホッジ数 h^{1,1} は1であり、rigid であることを示唆している。残りの3つは h^{1,1} > 1 であり、非自明なモジュライを持つ可能性を示している。
• 例えば、Z_{∧³Q ⊕ O(1)⊕²} ⊂ G(3,8) は、P⁵ 内のヴェロネーゼ曲面を含む2つの立方体の完全交差のクリープント解消であり、30個の例外的 P¹ が存在する。
• Z_{Sym²S* ⊕ O(1)⊕³} ⊂ G(4,8) は、2つの P⁷ 内の4次超曲面の完全交差（(P⁷)_{2⁴}）の非連結な2つのコピーに同型である。
• Z_{(∧²S*)⊕²} ⊂ G(k,2k) は、クズネツォフの定理により、k 個の P¹ の積に同型である。