[論文レビュー] Complete intersection for equivariant models

Marta Casanellas, Jesús Fernández-Sánchez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、進化のない点（一般点）の周囲で、G-不変モデルの系統発生的多様体を局所的に記述する明示的なアルゴリズムを提示する。これらの多様体がそのような点で滑らかであることを証明し、Zariski開近傍内で多様体を記述する最小の低次元多項方程式系（最大13次まで）を構成可能であることを示し、従来の指数関数的次数の構成に比べて顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

Phylogenetic varieties related to equivariant substitution models have been studied largely in the last years. One of the main objectives has been finding a set of generators of the ideal of these varieties, but this has not yet been achieved in some cases (for example, for the general Markov model this involves the open "salmon conjecture") and it is not clear how to use all generators in practice. Motivated by applications in biology, we tackle the problem from another point of view. The elements of the ideal that could be useful for applications in phylogenetics only need to describe the variety around certain "points of no evolution". We produce a collection of explicit equations that describe the variety on a Zariski open neighborhood of these points. Namely, for any tree on any number of leaves (and any degrees at the interior nodes) and for any equivariant model on any set of states, we compute the codimension of the corresponding phylogenetic variety. We prove that this variety is smooth at general points of no evolution, and provide an algorithm to produce a complete intersection that describes the variety around these points.

研究の動機と目的

• 生物学的応用を念頭に置いた、実用的で小さな多項式生成子の集合による系統発生的多様体の記述という課題に取り組む。
• 系統発生的多様体の構造を、配列が祖先から葉に至るまで変化しない生物学的に意味のある状態（進化なしの点）の周囲に焦点を当てる。
• これらの点における多様体の完全交差的記述を提供し、必要な方程式の数を最小化する。
• 構築された方程式が低次元であり、関連する系統発生的多様体にのみ対応し、余分な成分を含まないことを保証する。
• アーベル群に基づくモデルに関する先行結果を、ストランド対称モデルや一般マコフモデルを含むより広いクラスのG-不変モデルへ一般化する。

提案手法

• より小さな木の構造から始め、木を結合する帰納的アプローチにより、系統発生的不変量を構築する。
• 誘導された不変量に加え、「スリムフラットネス」と呼ばれる特殊なクラスの不変量を用い、内部ノードにおける記述を精緻化する。
• 群 G⊂𝔖κ の表現論を用いて、多様体の余次元と局所構造を計算する。
• エッジ不変量の正則列を特定し、完全交差を形成することで、多様体が正確に余次元分の多項方程式で局所的に定義されることを保証する。
• フーリエ基底を用いて不変量を明示的に表現し、定義方程式のアルゴリズム的計算を可能にする。
• 一般の進化なしの点で多様体が滑らかであることを証明し、これにより局所的記述に完全交差が十分であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のG-不変モデルおよび木のトポロジーについて、進化なしの一般点の周囲で、完全交差が系統発生的多様体を局所的に記述可能か？
• RQ2 与えられた木と不変モデルにおける系統発生的多様体の余次元は何か？また、群作用と状態空間とどのように関係するか？
• RQ3 進化なしの点が多様体上で非特異的か？これにより、最小の定義方程式系が可能になるか？
• RQ4 定義方程式を低次元でアルゴリズム的に計算可能か？生物学的推論に実用的か？
• RQ5 構築された方程式が、真の系統発生的多様体に対応しない余分な既約成分を導入しないか？

主な発見

• 任意のG-不変モデルおよび任意の木について、系統発生的多様体は一般の進化なしの点で滑らかであり、局所的完全交差的記述が可能であることが保証される。
• 多様体の余次元は、群G、葉の数、およびGが状態空間に作用する置換表現の重複度を用いて明示的に計算可能である。
• エッジ不変量の正則列を用いた完全交差が構成され、これらは系統発生的不変量として既知であり、余分な成分が導入されないことを保証する。
• 生物学的に関連するモデル（ストランド対称モデルや一般マコフモデルなど）では、定義方程式の次数は最大13次であり、指数関数的次数の従来の構成に比べて顕著な改善が達成される。
• アルゴリズムは実効的かつ明示的であり、木の構造と群作用から局所的定義方程式を計算可能である。
• 構成は、おそらく低次元の部分集合を除き、生物学的に意味のあるすべての点をカバーしており、実用的推論に適している。