[論文レビュー] Complete intersections of dimension zero: variations on a theme of Wiebe

Anne-Marie Simon, Jan R. Strooker|ArXiv.org|Mar 29, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ネーター局域環における次元0の完全交差に関するWiebeの基準を再考し、C.I.0-イデアル（次元0の完全交差となる商）とx-良い行列の間の対応を確立する。C.I.0-イデアルの鎖はx-良い行列の行列分解に対応し、また、要素の零化環や極大イデアルの極小生成元によって生成される主イデアルがC.I.0-イデアルであるかどうかを判定するための基準を提示する。主な結果として、これらのイデアルが環のソープルの構造および正則局域環の商としての実現性とどのように関連するかが示される。

ABSTRACT

Wiebe's criterion, which recognizes complete intersections of dimension zero among the class of noetherian local rings, is revisited and exploited in order to provide information on what we call C.I.0-ideals (those such that the corresponding quotient is a complete intersection of dimension zero) and also on chains of C.I.0-ideals. A correspondence is established between C.I.0-ideals and a certain kind of matrices which we call $x$-nice, and a chain of C.I.0-ideals corresponds to a factorization of some $x$-nice matrix. When the local ring $A$ itself is a complete intersection of dimension zero, a C.I.0-ideal is necessarily of the form $(0:bA)$ for some $b\in A$. Some criteria are provided to recognize whether an ideal $(0:bA)$ is C.I.0 or not. When $y$ is a minimal generator of the maximal ideal of $A$, it is also proved that the ideals $yA$ and $(0:yA)$ are C.I.0 simultaneously and that this is the case exactly when the ideal $(0:yA)$ is principal. These C.I.0-ideals of the form $(0:yA)$, $y$ being a minimal generator of the maximal ideal, are investigated. They are of interest because the smallest nonnull C.I.0-ideal in a strict chain of C.I.0-ideals of the maximal length is necessarily of that form, and their existence has some implications for a realization of the ring, i.e. for the way the ring can can be viewed as a quotient of a regular local ring.

研究の動機と目的

• ネーター局域環における次元0の完全交差を特定するWiebeの基準を拡張し、再解釈すること。
• C.I.0-イデアル（商が次元0の完全交差であるイデアル）を行列論的条件を用いて特徴付けること。
• C.I.0-イデアルの鎖とx-良い行列の因数分解との間の対応を確立すること。
• 要素の零化環や極大イデアルの極小生成元によって生成される主イデアルが、それぞれC.I.0-イデアルであるかどうかを特定すること。
• 次元0の完全交差環が正則局域環の商として実現される場合の構造的意味を探索すること。

提案手法

• 局域環A上のn×n行列φが、xが極大イデアルを生成するとき、det(φ) ∉ (x·φ) を満たす場合にx-良い行列と呼ぶ概念を導入する。
• C.I.0-イデアルとx-良い行列の間には一対一対応が存在し、行列の行列式がイデアルに関するソープルを生成することを示す。
• C.I.0-イデアルの包含関係I₀ ⊂ I₁が、I₀に属するx-良い行列の因数分解に対応することを確立する。
• x-Wiebe行列（x·ψ = 0 かつ det(ψ) がソープルを生成する）の構造を用いて、A自身がC.I.0環であるとき、すべてのC.I.0-イデアルを生成する。
• 主イデアル(yA)とその零化環(0:yA)に理論を適用し、yAがC.I.0-イデアルであることと(0:yA)が主イデアルであることの同値性を証明する。
• 極大イデアルの極小生成元を用いてC.I.0-イデアルの鎖を構成し、その鎖が最大長に達するための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極大イデアルの極小生成元yであるとき、主イデアルyAの零化環(0:yA)がC.I.0-イデアルであるのはいつか？
• RQ2 極大イデアルの極小生成元yによって生成される主イデアルyAがC.I.0-イデアルであるための条件は何か？
• RQ3 次元0の完全交差環において、C.I.0-イデアルの鎖はx-良い行列の因数分解とどのように関係するか？
• RQ4 主イデアル(0:yA)がC.I.0-イデアルであるという事実が、環が正則局域環の商として実現可能であるという制約に与える構造的影響は何か？
• RQ5 次元0の完全交差環が、可能な最大長の厳密な飽和鎖を持つC.I.0-イデアルをもつための条件は何か？

主な発見

• 極大イデアルの極小生成元yであるとき、主イデアルyAがC.I.0-イデアルであることは、その零化環(0:yA)が主イデアルであることと同値である。
• 零化環(0:yA)がC.I.0-イデアルであることと、それが主イデアルであることとは同値であり、これは零化環が単一の元によって生成されるときに限り成立する。
• Aが次元0の完全交差環であれば、すべてのC.I.0-イデアルは、行列因数分解を用いてx-Wiebe行列の因子として得られる。
• Aに対してx-Wiebe行列が存在することは、Aが次元0の完全交差であることと同値であり、その行列式はソープルM^n = (0:M)を生成する。
• 極大イデアルMの極小生成列x = (x₁, ..., xₙ) において、x₁が極小生成元であるとき、x₁AがC.I.0-イデアルであることと、(0:x₁A)が(x₂A + ⋯ + xₙA)に含まれないことは同値である。
• 極小生成元yに対して(0:yA)の形のC.I.0-イデアルが存在することは、環が正則局域環の商として実現可能であるという構造的制約をもたらす。