[論文レビュー] Complete isometries into C*-algebras

David P. Blecher, Damon M. Hay|ArXiv.org|Mar 18, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、C*-代数間の完全等長写像を特徴づけるために、HolsztynskiのC(K)空間間の等長写像に関する古典的結果を一般化する。線形写像 $ T: A \to B $ が完全等長写像であるための必要十分条件は、完全に収縮的であり、かつ $ \pi $ を*-準同型、$ u $ を $ B^{**} $ 内の部分等長写像とする形の還元可能な $\wedge$-圧縮 $ u\pi(\cdot) $ を持つことである。主な洞察は、*-準同型部が等長写像を決定するが、補足部は最小限の役割を果たすということである。

ABSTRACT

We give various characterizations of into (not necessarily onto) complete isometries between $C^*$-algebras, generalizing a classical result of Holsztynski. Our results are related to a natural embedding of the noncommutative Shilov boundary in a second dual.

研究の動機と目的

• 可換C*-代数間の等長写像のHolsztynskiの特徴づけを非可換C*-代数へ一般化すること。
• C*-代数間の線形写像が完全等長写像であるための必要十分条件を特定すること。
• 非可換シロフ境界と第二双対埋め込みが完全等長写像を特徴づける際に果たす役割を明確にすること。
• 非自己随伴作用素代数へ理論を拡張し、三重系と作用素空間論への応用を含めること。

提案手法

• 写像 $ T: A \to B $ の還元可能な $\wedge$-圧縮の概念を、$ B \to B^{**} $ の標準埋め込みを用いて定義する。
• Bの普遍表現を用いて、$ T $ を $ B(H_u) $ 内のブロック対角作用素行列として表現し、*-準同型部と補足部に分解する。
• 写像 $ T $ が完全等長写像であるための必要十分条件は、完全に収縮的であり、かつ $ \pi $ を*-準同型、$ u $ を $ B^{**} $ 内の部分等長写像とする形の還元可能な $\wedge$-圧縮 $ u\pi(\cdot) $ を持つことであることを示す。
• $ B^{**} $ 内の射影を用いてこのような圧縮の構造を解析し、$ T $ が単位的である場合に $ B $ の左イデアルによる商と関連付ける。
• 単位的写像の場合、部分等長写像 $ u $ を 1 として取り、補足部 $ S $ が完全正値であることを示す。
• 例として $ \ell^\infty_n $ と $ M_n $ を用い、補足部の還元可能な射影の存在が、単位的完全等長写像に対しても保証されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数間の線形写像が完全等長写像であると特徴づけられる条件は何か、特に全射でない場合にどうか。
• RQ2 非可換シロフ境界と第二双対 $ B^{**} $ は、完全等長写像の構造にどのように影響を与えるか。
• RQ3 Holsztynskiの可換な等長写像に関する結果を、正確かつ内的な方法で非可換C*-代数へ一般化できるか。
• RQ4 *-準同型部が写像が完全等長写像であるかどうかを決定する役割を果たすのはどのようなものか。補足部はこのことにどのように影響を与えるか。
• RQ5 完全等長写像が第二双対において*-準同型部と完全正値部に分解できる条件は何か。

主な発見

• C*-代数間の線形写像 $ T: A \to B $ が完全等長写像であるための必要十分条件は、完全に収縮的であり、かつ $ \pi $ を*-準同型、$ u $ を $ B^{**} $ 内の部分等長写像とする形の還元可能な $\wedge$-圧縮 $ u\pi(\cdot) $ を持つことである。
• 単位的写像の場合、部分等長写像 $ u $ を 1 として取り、補足部 $ S $ は完全正値である。これはChoiとEffrosの結果を一般化する。
• 写像の構造は主に*-準同型部によって決定され、補足部は等長性を保証する際に最小限の役割を果たす。
• 無限次元Hに対して、$ M_n \to B(H) $ となる単位的完全等長写像 $ \Psi $ の例を構成した。この例では、$ (1-p)\Psi(\cdot) $ が*-準同型となるような射影 $ p $ が存在するのは $ p = 1 $ の場合に限るが、そのとき写像はゼロとなる。
• この例は、補足部の還元可能な射影の存在が、単位的の場合ですら保証されないことを示しており、非可換構造が可換の場合の直接的な類似を妨げることを示している。
• 理論は非自己随伴作用素代数へ自然に拡張され、三重系と作用素空間論への応用が示されている。関連研究で確認されている。