[論文レビュー] Complete lifts of harmonic maps and morphisms between Euclidean spaces

Ye‐Lin Ou|ArXiv.org|Nov 7, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正則性、調和性、水平的弱く共形性を研究するために、ユークリッド空間間の写像の完全上昇写像の概念を導入する。完全上昇写像を用いて正則写像を特徴付け、Kähler構造から得られないものも含む、明示的な調和モルフィズムの構成が行われ、調和写像理論における新しい例を提供する。

ABSTRACT

We introduce the complete lifts of maps between (real and complex) Euclidean spaces and study their properties concerning holomorphicity, harmonicity and horizontal weakly conformality. As applications, we are able to use this concept to characterize holomorphic maps $ϕ:{\Bbb C}^{m}\supset U\longrightarrow {\Bbb C}^{n}$ (Proposition 2.3) and to construct many new examples of harmonic morphisms (Theorem 3.3). Finally we show that the complete lift of the quaternion product followed by the complex product is a simple and explicit example of a harmonic morphism which does not arise (see Definition 4.8 in \cite{BaiWoo95}) from any K{ä}hler structure.

研究の動機と目的

• 実および複素ユークリッド空間間の写像の完全上昇写像を定義し、その性質を研究すること。
• 完全上昇写像が正則性、調和性、水平的弱く共形性とどのように関係するかを調査すること。
• 完全上昇写像を複素空間間の正則写像を特徴付けるための道具として用いること。
• 完全上昇写像の構成を用いて、新しい明示的な調和モルフィズムの例を構成すること。
• Kähler構造から生じない調和モルフィズムを提供し、既存の分類枠組みに挑戦すること。

提案手法

• ユークリッド空間間の写像の完全上昇写像は、幾何的および解析的性質を保存する高次元への拡張として定義される。
• この構成は、テンソル積や代数的演算を介して行われ、特にクォータニオン積と複素積が特に重要である。
• 微分幾何的技法を用いて、上昇写像の調和性および弱く共形性を分析する。
• 理論的分析により、特定の条件下で完全上昇写像が調和性および水平的弱く共形性を保存することを検証する。
• 複素数およびクォータニオン代数を用いて、クォータニオン積の完全上昇写像に続いて複素積を適用することで、明示的な調和モルフィズムの例を構築する。
• 正則性や調和モルフィズムとなる条件を確立するための理論的特徴付け定理（例：命題2.3および定理3.3）が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間間の写像の完全上昇写像はどのように定義され、どのような幾何的性質を保存するのか？
• RQ2 写像の完全上昇写像が調和性および水平的弱く共形性を保存するのはどのような条件下か？
• RQ3 完全上昇写像の構成を用いて、複素ユークリッド空間間の正則写像を特徴付けられるか？
• RQ4 この上昇写像の構成を用いて、どのような新しい調和モルフィズムの例が生成可能か？
• RQ5 完全上昇写像を用いて構成された調和モルフィズムのうち、Kähler構造から生じないものは存在するか？

主な発見

• 完全上昇写像の構成は、命題2.3で示されるように、複素ユークリッド空間間の正則写像を効果的に特徴付ける。
• 本稿では、クォータニオン積の完全上昇写像に続いて複素積を適用することで、明示的な新しい調和モルフィズムの例を構成する。
• 得られた調和モルフィズムは、BaiとWong（1995）で定義されたいかなるKähler構造からも生じないことが示され、新規な例を提供する。
• 指定された代数的構成のもとで、完全上昇写像は調和性および水平的弱く共形性を保存する。
• 本手法は、Kähler幾何学から得られるものとは異なる調和モルフィズムを体系的に生成する方法を提供する。
• 理論的結果により、完全上昇写像がユークリッド空間における調和モルフィズムの構築および分類に強力な道具であることが確認される。