[論文レビュー] Complete minimal surfaces in R3 with a prescribed coordinate function

Antonio Alarcón, Isabel Fernández|ArXiv.org|Aug 18, 2008

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Rungeの近似および境界付近のラビリンス構成を用いて、Jorge-XavierおよびNadirashviliの技法を精緻化することで、任意の非定数調和座標関数をもつR³内の完全な単連結最小的超曲面を構成する。主な結果は、そのような完全な超曲面が、コンパクト集合上で一様収束の位相において、同じ座標関数をもつすべての最小的超曲面の空間において稠密であるということである。

ABSTRACT

In this paper we construct complete simply connected minimal surfaces with a prescribed coordinate function. Moreover, we prove that these surfaces are dense in the space of all minimal surfaces with this coordinate function (with the topology of the smooth convergence on compact sets).

研究の動機と目的

• 単連結領域上の任意の調和関数が、R³内の完全な最小的超曲面の座標関数として成立するかどうかを同定すること。
• 元来x₃(z) = Re(z)のためのJorge-Xavierの構成を、任意の非定数調和関数へと拡張すること。
• 固定された座標関数をもつ完全な最小的超曲面が、すべての同様の最小的超曲面の空間において稠密であることを確立すること（コンパクト収束位相に関して）。
• 関連設定における幾何的帰結を検討：L³内の最大的超曲面およびC³内の正則ノルム曲線。
• 有界座標関数をもつ完全な有界最小的超曲面を構成する際の鋭い障害を特定すること。

提案手法

• Weierstrass表現を用いて、Φ₁² + Φ₂² + Φ₃² = 0 かつノルムが消えない holomorphic 1-形式 (Φ₁, Φ₂, Φ₃) に対応する最小的埋め込みを関連付ける。
• Σ = C または D 上の与えられた非定数調和関数 u に対して、X₃ = u と固定し、Re∫Φ₃ = u を満たすWeierstrassデータ (g, Φ₃) を構成する。
• 定理1を適用：任意のX₃ = u をもつコンフォーマル最小的埋め込みX、コンパクト集合K ⊂ Σ、ε > 0 に対して、K上で‖X − Y‖ < ε かつ Y₃ = X₃ を満たす新しい完全埋め込みYを構成する。
• 境界付近に注意深く設計されたコンパクト集合のラビリンスを用いてRungeの定理を適用し、完全性を保ちつつ元の埋め込みを近似する。
• López-Ros変換を用いて、第3座標を変更せずにガウス写像gを変形し、計量および完全性を制御可能にする。
• 複素解析的双対性（例：Re∫(iΦ₁, iΦ₂, Φ₃) が最大的超曲面を与える）を用いて、結果をL³内の最大的超曲面およびC³内の正則ノルム曲線へと翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結領域上で定義された任意の非定数調和関数が、R³内の完全な最小的超曲面の座標関数として現れることができるか？
• RQ2 固定された座標関数をもつ完全な最小的埋め込みの集合が、すべての同様の埋め込みの空間において稠密であるか（コンパクト収束位相に関して）？
• RQ3 有界調和座標関数をもつ完全な有界最小的超曲面を構成する際の障害は何か？
• RQ4 最小的超曲面に用いられた技法を、所定の座標関数をもつ完全な最大的超曲面または正則ノルム曲線を構成するために適応可能か？
• RQ5 ある座標関数が有界であるとき、最小的超曲面の完全性が、他の座標関数の有界性にどのように制限を加えるか？

主な発見

• Σ = C または D 上の任意の非定数調和関数uに対して、X₃ = u をもつコンフォーマルで完全な最小的埋め込みX: Σ → R³ が存在する。
• 固定された座標関数X₃ = u をもつ完全な最小的埋め込みの集合は、その座標関数をもつすべてのコンフォーマル最小的埋め込みの空間において、コンパクト集合上で一様収束の位相において稠密である。
• 有界な第3座標関数をもつ完全な最小的埋め込みでは、X₁とX₂が両方とも有界であることは不可能である。一方が有界であれば、他方は無限大に発散しなければならない。
• 有界な座標関数をもつ完全な有界最小的超曲面を構成することは、一般には不可能である。Bourgainの定理と計量の可積分性を用いた背理法によって示された。
• 結果はL³内の最大的超曲面へも拡張可能である：Σ上で非定数調和関数uが与えられたとき、Y₃ = u をもつ弱完全なコンフォーマル最大的埋め込みY: Σ → L³ が存在する。
• Σ上で非定数正則関数fが与えられたとき、F₃ = f をもつ完全な正則ノルム曲線F: Σ → C³ が存在する。