[論文レビュー] Complete moduli in the presence of semiabelian group action

Valery Alexeev|ArXiv.org|May 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自然な幾何的条件下の射影的代数多様体に半アーベル群作用とアメーブル・カーティエ除集合を持つ場合の完全なモジュライ空間の存在と構造を確立する。主な結果は、モジュライ空間の各連結成分が固有であることであり、その成分は二次多面体を用いてトーリック多様体をパラメトライズし、無限周期的アナロジーを用いて principally polarized abelian varieties をパラメトライズする。この構成は、$A_g$ の第二ヴォロノイのトーリックコンパクト化と一致する。

ABSTRACT

I prove the existence, and describe the structure, of moduli space of pairs $(p,Θ)$ consisting of a projective variety $P$ with semiabelian group action and an ample Cartier divisor on it satisfying a few simple conditions. Every connected component of this moduli space is proper. A component containing a projective toric variety is described by a configuration of several polytopes, the main one of which is the secondary polytope. On the other hand, the component containing a principally polarized abelian variety provides a moduli compactification of $A_g$. The main irreducible component of this compactification is described by an "infinite periodic" analog of the secondary polytope and coincides with the toroidal compactification of $A_g$ for the second Voronoi decomposition.

研究の動機と目的

• 射影的代数多様体に半アーベール群作用とアメーブル・カーティエ除集合を持つ場合の、自然な幾何的制約のもとでの完全なモジュライ空間の構成。
• 各モジュライ空間の連結成分の固有性を確立し、コンパクト性および有限性の性質を保証。
• トーリック多様体をパラメトライズするモジュライ成分を、配置された多面体の構造を用いて特徴づけ、主な対象は二次多面体である。
• 無限周期的アナロジーを用いて、 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間のコンパクト化を提供。
• このコンパクト化が、第二ヴォロノイ分解に付随する $A_g$ のトーリックコンパクト化と一致することを示す。

提案手法

• 構成は、幾何的不変式理論（GIT）および特に第二ヴォロノイ分解を用いたトーリックコンパクト化の理論に依拠している。
• 特に二次多面体構成を用いた多面体的組合せ論が、トーリック多様体のモジュライ成分をパラメトライズするために用いられる。
• 無限周期的アナロジーとしての二次多面体の一般化が、 principally polarized abelian varieties のモジュライ成分を記述するために導入される。
• 安定性条件は、半アーベール群の多様体への作用と、数値的条件を満たすアメーブル・カーティエ除集合の選択に基づいて定義される。
• モジュライ成分の固有性は、幾何的および組合せ論的議論の組み合わせにより確立され、特に多面体分解の完全性を用いる。
• モジュライ空間は、群作用および除集合類によって誘導される同値関係の下での、ペア $(P, \Theta)$ のパrameter空間の商として構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的代数多様体に半アーベール群作用とアメーブル・カーティエ除集合を持つ場合に、完全なモジュライ空間が存在するための条件は何か？
• RQ2 このようなペアのモジュライ空間を、幾何的に意味のある方法でコンパクト化するにはどうすればよいか？
• RQ3 この枠組みにおけるトーリック多様体をパラメトライズするモジュライ成分の組合せ論的構造は何か？
• RQ4 principally polarized abelian varieties のモジュライ成分は、既知の $A_g$ のトーリックコンパクト化とどのように関係するか？
• RQ5 この設定において、アーベール多様体のモジュライ空間を記述する、二次多面体を一般化した組合せ論的対象は存在するか？

主な発見

• 半アーベール群作用とアメーブル・カーティエ除集合を持つ射影的代数多様体のペア $(P, \Theta)$ のモジュライ空間は、完全であり、すべての連結成分が固有である。
• トーリック多様体をパラメトライズする成分は、多面体の配置によって記述され、主なものは二次多面体である。
• principally polarized abelian varieties を含む成分は、二次多面体の無限周期的アナロジーによって記述される。
• この無限周期的多面体の構成は、$A_g$ の第二ヴォロノイのトーリックコンパクト化と同一のコンパクト化をもたらす。
• モジュライ空間は大域的に固有であり、その既約成分は有限型の代数的空間であるため、幾何的状況下での有限性およびコンパクト性が保証される。