[論文レビュー] Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、関数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるための必要十分条件を確立し、$ \lambda \leq 0 $ のときかつそのときに限り完全単調であることを証明している。また、$ f_\lambda(x) $ の負の関数が完全単調であるのは $ \lambda \geq 4 $ のときかつそのときに限りである。これらの結果は、三および四対数関数に関する既存の不等式を精緻化し、鋭くしている。

ABSTRACT

The psi function $ψ(x)$ is defined by $ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$ and $ψ^{(i)}(x)$ for $i\in\mathbb{N}$ denote polygamma functions, where $Γ(x)$ is the gamma function. In this paper, we prove that the function $$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$ is completely monotonic on $(0,\infty)$ if and only if $λ\le0$, and so is its negative if and only if $λ\ge4$. From this, some inequalities are refined and sharpened.

研究の動機と目的

• 関数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるような実数パラメータ $ \lambda $ の正確な範囲を同定すること。
• 関数 $ f_\lambda(x) $ の負の関数が $ (0,\infty) $ で完全単調であるための必要十分条件を確立すること。
• 関数 $ [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) $ の既存の不等式を、形 $ \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ の最適な有理関数境界を導出することで精緻化・鋭くすること。
• 積分表現と漸近展開を用いた代替的証明を提示し、psi関数およびpolygamma関数を含む新しい完全単調関数および不等式を導出すること。

提案手法

• 多対数関数の再帰公式 $ \psi^{(n-1)}(x+1) = \psi^{(n-1)}(x) + \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $ を用いて、差 $ f_\lambda(x) - f_\lambda(x+1) $ を分析する。
• 積分表現：$ \psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \int_0^\infty \frac{t^n}{1 - e^{-t}} e^{-xt} dt $ および $ \frac{1}{x^r} = \frac{1}{\Gamma(r)} \int_0^\infty t^{r-1} e^{-xt} dt $ を適用し、関数をラプラス変換の形に表現する。
• デカルトの符号法則と $ \psi'(x) $、$ \psi''(x) $ の漸近展開を用いて、$ x \to 0^+ $ および $ x \to \infty $ のときの $ f_\lambda(x) $ の符号の挙動を分析する。
• 有理関数および対数項と $ \psi'(x) $ を組み合わせることで新しい完全単調関数を導出し、係数解析を用いてその単調性を証明する。
• 完全単調関数を特徴付ける Bernstein-Widder の定理（非減少測度のラプラス変換として表現可能な関数）を用いて、導出された関数の単調性を検証する。
• 導出された完全単調関数を統合することで、対数項と有理関数項を含む $ \psi(x) $ に関する新しい二重不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 $ \lambda \in \mathbb{R} $ のどの値に対して、関数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるか？
• RQ2 実数 $ \lambda \in \mathbb{R} $ のどの値に対して、$ f_\lambda(x) $ の負の関数が $ (0,\infty) $ で完全単調であるか？
• RQ3 関数 $ [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) $ を $ (0,\infty) $ で下からおよび上からタイトに有界化する形 $ \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ の最適な有理関数境界は何か？
• RQ4 $ \psi'(x) $、有理関数、対数項の組み合わせから新しい完全単調関数を構成できるか？そのパラメータ条件は何か？
• RQ5 $ f_\lambda(x) $ の $ x \to 0^+ $ および $ x \to \infty $ における鋭い漸近的挙動は何か？また、それらはパラメータ $ \lambda $ をどのように制約するか？

主な発見

• 関数 $ f_\lambda(x) = [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) - \frac{x^2 + \lambda x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ は、$ (0,\infty) $ で完全単調であるための必要十分条件が $ \lambda \leq 0 $ である。
• 関数 $ -f_\lambda(x) $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるための必要十分条件は $ \lambda \geq 4 $ である。
• 二重不等式 $ \frac{x^2 + \mu x + 12}{12x^4(x+1)^2} < [\psi'(x)]^2 + \psi''(x) < \frac{x^2 + \nu x + 12}{12x^4(x+1)^2} $ が $ (0,\infty) $ で成り立つのは、$ \mu \leq 0 $ かつ $ \nu \geq 4 $ のときかつそのときに限りである。
• 関数 $ \psi'(x) - \frac{\lambda(4 + 8x + 5x^2)}{24x(1+x)^3(2+x)^2} - \frac{24 + 120x + 283x^2 + 399x^3 + 345x^4 + 181x^5 + 51x^6 + 6x^7}{6x^2(1+x)^4(2+x)^2} $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるのは、$ \lambda \leq 0 $ のときかつそのときに限りである。
• 上記の関数を統合することで、対数項を含む $ \psi(x) $ に関する二重不等式が得られ、これは $ \xi \geq 4 $ かつ $ \eta \leq 0 $ のときに限り成立する。
• 関数 $ G_\lambda(x) = \ln\Gamma(x) + x + \frac{1}{12(1+x)^2} + \frac{\lambda - 48}{48(1+x)} + \frac{H_\lambda(x)}{24} $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるのは $ \lambda \leq 0 $ のときかつそのときに限りであり、すべての $ k \in \mathbb{N} $ に対して $ (-1)^{k+1}[G_\lambda(x)]^{(k)} > 0 $ を満たすのは $ \lambda \geq 4 $ のときかつそのときに限りである。