[論文レビュー] Complete Path Algebras and Rational Modules

Miodrag C. Iovanov|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全パス代数および単項余代数上の合理的モジュールが拡張に関して閉じているのは、合理的関手が torsion 関手であるときに限ることを調査している。主な貢献は、頂点間のパスに有限性条件を課した場合、完全単項代数においてコアフレクシビティ、拡張に関しての閉包性、およびモーリタ不変性が成り立つことを証明し、合理的関手が torsion である新しいクラスの余代数を提供することにある。

ABSTRACT

We study rational modules over complete path and monomial algebras, and the problem of when rational modules over the dual $C^*$ of a coalgebra $C$ are closed under extensions, equivalently, when is the functor $Rat$ a torsion functor. We show that coreflexivity, closure under extensions of finite dimensional rational modules and of arbitrary modules are Morita invariant, and that they are preserved by subcoalgebras. We obtain new large classes of examples of coalgebras with torsion functor, coming from monomial coalgebras, and answer some questions in the literature.

研究の動機と目的

• 完全パス代数上の合理的モジュールの圏が拡張に関して閉じている条件を特定すること。
• C^* -モジュール上で合理的関手 $\mathrm{Rat}$ が torsion 関手となる条件を調査すること。
• 既知のコアフレクシブ余代数に関する結果を単項余代数および完全単項代数へと拡張すること。
• クイバー理論的構成を用いて、合理的関手が torsion である余代数の新しいクラスを提供すること。
• モーリタ不変性および部分余代数埋め込みを通じて、合理的モジュールの拡張に関しての閉包性がどのように保存されるかを検討すること。

提案手法

• パス余代数 $C = \mathbb{K}Q$ とその双対 $C^*$ の双対性を用い、$C^*$ を cofinite 単項イデアルに関する完備化によって完全パス代数として特定する。
• 合理的モジュールを $C$ 上のコモジュールとして扱い、合理性が表現の局所的冪零性に対応することを適用する。
• トレース関手 $T(M)$ を合理的部分カテゴリ内のすべての部分モジュールの和として定義し、$T$ がラジカル（すなわち合理的モジュールが拡張に関して閉じている）である条件を分析する。
• 関手 $\mathrm{Rat}$ が torsion 関手であるための必要十分条件として、すべての $M$ に対して $\mathrm{Rat}(M/\mathrm{Rat}(M)) = 0$ が成り立つことを用い、$C^*$ -モジュールの構造と関連付ける。
• モーリタ＝タケウチ同値を用いて、基本的余代数から一般の余代数へ性質を移す。特に、余代数の Ext -クイバーを用いる。
• 頂点間のパスが有限である場合のクイバーにおけるコアフレクシビティおよび直接コアフレクシビティに関する [8] の結果を、単項余代数へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クイバー $Q$ および部分パスに関して閉じたパスの集合 $H$ に対して、$H$ を基底とする単項余代数 $C$ が直接コアフレクシブである条件は何か？
• RQ2 完全単項代数 $C^*$ に対して、$C^*$ -モジュール上の合理的モジュールの圏が拡張に関して閉じているのはいつか？
• RQ3 合理的モジュールの拡張に関しての閉包性がモーリタ同値および部分余代数埋め込みにおいてどのように振る舞うか？
• RQ4 余代数の Ext -クイバーにどのような構造的条件を課すと、合理的関手が torsion 関手となるか？
• RQ5 余代数がコアフレクシブであっても、合理的関手が torsion 関手でないことはあり得るか？ もしそうなら、そのために必要な条件は何か？

主な発見

• クイバー $Q$ および任意の二頂点間で有限個のパスを持つ部分パスに関して閉じたパスの集合 $H$ に対して、$H$ を基底とする単項余代数 $C$ は直接コアフレクシブである。
• このような単項余代数 $C$ は、すべての $C^*$ -モジュールの圏において、合理的 $C^*$ -モジュールが拡張に関して閉じている性質を持つ。
• コアフレクシビティおよび合理的モジュールの拡張に関しての閉包性は、モーリタ同値のもとで保存され、したがってモーリタ不変量である。
• 完全パス代数の部分余代数は、元の余代数がパスの有限性条件を満たしていれば、合理的モジュールが拡張に関して閉じている性質を継承する。
• 余代数 $C$ の Ext -クイバーに任意の二頂点間で有限個のパスが存在するならば、$C$ はコアフレクシブであり、合理的 torsion 関手を持つ。
• 完全 $C^*$ -モジュール上で合理的関手 $\mathrm{Rat}$ が torsion 関手であるための必要十分条件は、合理的部分カテゴリが拡張に関して閉じていることである。この性質は、パスの有限性条件が満たされた単項余代数に対して成り立つ。