[論文レビュー] Complete periodicity of Prym eigenforms

Erwan Lanneau, Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、種数3、4、5におけるPrym固有形式について完全周期性を確立し、すべてのホモロジー的方角が代数的周期性を示し、すべての正則な閉測地線が完全周期的方角にあることを証明する。線型対合を用いた周期的foliationの新しいアプローチにより、Veech群の極限集合が空集合、一点、または無限遠の全円のいずれかであることを示し、第一種の無限生成Veech群をもつ新しい翻訳表面の例が得られる。

ABSTRACT

This paper deals with Prym eigenforms which are introduced previously by McMullen. We prove several results on the directional flow on those surfaces, related to complete periodicity (introduced by Calta). More precisely we show that any homological direction is algebraically periodic, and any direction of a regular closed geodesic is a completely periodic direction. As a consequence we draw that the limit set of the Veech group of every Prym eigenform in some Prym loci of genus 3,4, and 5 is either empty, one point, or the full circle at infinity. We also construct new examples of translation surfaces satisfying the topological Veech dichotomy. As a corollary we obtain new translation surfaces whose Veech group is infinitely generated and of the first kind.

研究の動機と目的

• 種数3、4、5におけるPrym固有形式について完全周期性を確立し、種数2の結果を拡張する。
• 特定のストラタにおけるPrym固有形式のVeech群の極限集合を特徴付け、それが空集合、一点、または無限遠の全円のいずれかであることを示す。
• Veech曲面の分岐被覆でない、トップロジカルVeech二分法を満たす翻訳表面の新しい例を構成する。
• 第一種の無限生成Veech群をもつ無限個のPrym固有形式の存在を示す。

提案手法

• 線型対合を用いた周期的foliationの新しいアプローチを導入し、翻訳表面における方向的流れを解析する。
• Sah-Arnoux-Fathi (SAF)不変量を用いて代数的周期性を定義し、完全周期性と関連付ける。
• ホモロジー的方角におけるシリンダー分解を解析し、Prym対合τに関する対称性を活用して、サドル接続および測地線分を特定する。
• 特定の周期座標と二次的整域による実乗法をもつ、Prym(1,1,2)、Prym(4,4)even、Prym(1,1,4)における翻訳表面の明示的例を構成する。
• Dehnねじりを用いて方向を摂動し、不安定な周期的方角が任意の正則な閉測地線方角の近傍に稠密であることを示す。
• Fuchs群が第一種であるのは、その極限集合が無限遠の全円であるときであり、非格子Veech群は無限生成でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Prym固有形式上のすべてのホモロジー的方角は代数的周期性を示すか、すなわちSAF不変量が消えるか？
• RQ2 種数3、4、5におけるPrym固有形式において、正則な閉測地線を含むすべての方向は完全周期的か？
• RQ3 ストラタQ(8)、Q(−1,2,3)、Q(−13,1,2)におけるPrym固有形式のVeech群の極限集合として可能なものは何か？
• RQ4 Veech曲面でない新しい翻訳表面の例がトップロジカルVeech二分法を満たすことができるか？
• RQ5 第一種の無限生成Veech群をもつ無限個のPrym固有形式が存在するか？

主な発見

• Prym固有形式上のすべてのホモロジー的方角は代数的周期性を示し、SAF不変量が消える。
• 正則な閉測地線を含むすべての方向は完全周期的であり、流れが周期的または一意的エルゴディックであることを示唆する。
• ストラタQ(8)、Q(−1,2,3)、Q(−13,1,2)に属する任意のPrym固有形式について、Veech群の極限集合は空集合、一点、または無限遠の全円のいずれかである。
• Prym(1,1,2)、Prym(4,4)even、Prym(1,1,4)に属する翻訳表面のうち、無限生成で第一種のVeech群をもつものが無限個存在する。
• Prym(1,1,2)における、非可換なシリンダーモジュラスをもつ表面の明示的構成により、Veechでない性質とVeech群の無限生成性が示される。
• Q(8)およびQ(−1,2,3)に属するすべての二次微分形式について、擬アノソフ写像によって安定化される場合、トップロジカルVeech二分法が成り立つ。これは、Veech曲面の分岐被覆でない最初の例を提供する。