[論文レビュー] Complete polynomials using 3-term and reversible 3-term recurrence formulas (3TRF and R3TRF)

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特殊関数、特に二重特困的ヘン方程式（DCHE）の文脈において、三項再帰公式（3TRF）および逆可換三項再帰公式（R3TRF）を用いた完全多項式を構築するための新規フレームワークを提示する。係数がスペクトルパラメータによって切断される再帰構造を分析することにより、多項式型2および第一種完全多項式に分類される有限部分級解が導出される。3TRFとR3TRFのアプローチにおける主な差異は、先頭項（An 対 Bn）およびポッホハマー記号の配置にあり、これによりトリコミ関数による解析的積分表現が可能になる。

ABSTRACT

In the first series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)", I show how to obtain power series solutions of Heun, Grand Confluent Hypergeoemtric (GCH), Mathieu and Lame equations for an infinite series and a polynomial of type 1. The method of proof for an infinite series and a polynomial of type 1 in the 3-term recurrence relation is called as three term recurrence formula (3TRF). And integral forms and generating functions of the above 4 equations are constructed analytically. In the second series "Special functions and reversible three-term recurrence formula (R3TRF)", I show how to obtain (1) power series solutions, (2) integral solutions and (3) generating functions of 5 equations (Heun, GCH, Mathieu, Lame and Confluent Heun (CH) equations) for an infinite series and a polynomial of type 2. The method of proof for an infinite series and a polynomial of type 2 in the 3-term recurrence relation is called as reversible three term recurrence formula (R3TRF). In this series I show how to obtain the mathematical formula for a polynomial of type 3, designated as "complete polynomial." The complete polynomial has two different types which are (1) the first species complete polynomial and (2) the second species complete polynomial. The former is applicable if there are only one eigenvalue in B_n term and an eigenvalue in A_n term. And the latter is applicable if there are two eigenvalues in B_n term and an eigenvalue in A_n term. By applying 3TRF and R3TRF, I generalize the 3-term recurrence relation in 5 equations (Heun, GCH, Lame, CH and Double Confluent Heun equations) for complete polynomials of two types in the form of a power series expansion.

研究の動機と目的

• 特殊関数の文脈において、三項再帰公式（3TRF）および逆可換3TRFを用いた完全多項式を体系的に構築するための手法を開発すること。
• 二つの不規則特異点を有する二重特困的ヘン方程式（DCHE）において、有限部分級解を特定および分類すること。
• 再帰の先頭項（An 対 Bn）およびポッホハマー記号の配置という観点から、多項式型2および第一種完全多項式の構造的差異を明確にすること。
• トレクミ関数および超幾何型積分を用いた、これらの多項式の解析的積分表現を確立すること。
• 3TRFおよびR3TRFアプローチの間で数値的に等価であることを示しながらも、級数構築における根本的な構造的相違点を強調すること。

提案手法

• 不規則特異点が x=0 および x=∞ に存在するDCHEに対して、フロベニウス型の形式的級数解を用いて三項再帰関係を導出する。
• 3TRFおよびR3TRFを用いて有限部分級解を生成し、スぺクトルパラメータ q を用いた切断条件を特定する。
• ポッホハマー記号を用いて再帰関係における係数を表現し、An（3TRF）およびBn（R3TRF）の先頭項におけるその配置の違いを明確にする。
• 一般解の部分級数にトレクミ関数の閉路積分を適用することで積分表現を構築し、解析接続を可能にする。
• ∆±k(j,q) 項を含む再帰的係数公式を用いて、両多項式タイプの有限部分級数を定義する。
• 一般形式的級数解の構造を分析し、3TRFが二つの部分級数の和として古典的構造を示すのに対し、R3TRFは単一の部分級数を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの不規則特異点を有するDCHEの文脈において、3TRFおよびR3TRFから完全多項式を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 再帰の先頭項（An 対 Bn）およびポッホハマー記号の配置という観点から、多項式型2および第一種完全多項式の構造的差異は何か？
• RQ3 3TRFおよびR3TRFを用いた再帰関係は、係数の生成および級数構成においてどのように異なるか？
• RQ4 トレクミ関数または超幾何型積分を用いて、これらの有限部分級解に対して解析的積分表現を構築できるか？
• RQ5 スぺクトルパラメータ q は、一般級数を有限多項式に切断するために果たす役割は何か？

主な発見

• 多項式型2解は、無限個の固有値を有するパラメータ q を固有値として固定することにより得られ、再帰系における部分級数の切断が生じる。
• 第一種完全多項式は、q の多価的根をスぺクトルパラメータとして用い、固有値は q_m^{2N+3}（m = 0, 1, ..., 2N+3）としてラベル付けされる。
• 3TRFでは、各有限部分級数の先頭項としてAnが果たすのに対し、R3TRFではBnがその役割を果たすため、根本的な構造的相違が生じる。
• 3TRFでは、Bn項の分子および分母の両方がポッホハマー記号を含むが、R3TRFでは、同様にAn項の両方がポッホハマー記号を含むため、係数構造に二重対称性が現れる。
• 3TRFの古典的和構造は二つの有限部分級数の和であるのに対し、R3TRF解は単一の有限部分級数から構成されるため、よりコンパクトな形式である。
• 3TRFおよびR3TRFを用いた数値結果は等価であるが、係数生成および項の優位性という観点から、それらの背後にある再帰構造は顕著に異なる。