[論文レビュー] Complete positivity and dissipative factorized dynamics: some comments

Fabio Benatti, Roberto Floreanini+2 more|ArXiv.org|Oct 24, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二部の開放量子系における因子分解されたマルコフ力学が正性を保つための条件を調査し、一般にテンソル積マップの正性が個々の部分系の完全正性（CP）を要しないものの、一方の力学がある小さな摂動である場合にはCPが必須であることを示している。これは、熱浴に結合する系において一般的に見られる状況である。主な結果として、摂動的条件下では両マップのCPが物理的不整合を避けるために強制されることが確立されている。

ABSTRACT

After reviewing the main properties of time-evolutions of open quantum systems, some considerations about the positivity of factorized Markovian dynamics for bipartite systems are made. In particular, it is shown that the positivity of the whole time-evolution in general does not ask for the complete positivity of the single system time-evolutions, if they are allowed to differ. However, they must be completely positive if one is a small perturbation of the other, which is the typical situation for open systems in a heat bath.

研究の動機と目的

• 開放量子系における因子分解された力学の正性と個々の部分系の時間発展の完全正性（CP）との関係を明確にすること。
• 部分系が異なる力学に従う場合に、連成マップ $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ の正性が、両方の $\gamma_t^{(1)}$ と $\gamma_t^{(2)}$ のCPを意味するかどうかを調査すること。
• 特に小さな摂動が存在する場合に、物理的整合性を保つために個々のマップのCPがどのような条件下で必要となるかを特定すること。
• 系が熱浴に結合する場合に見られるように、$\gamma_t^{(2)}$ が $\gamma_t^{(1)}$ の小さな摂動であるとき、両マップのCPが必須であることを確立すること。

提案手法

• マーティンの力学の半群構造を用い、時間発展生成子 $L$ と $L_\varepsilon = L + \varepsilon\Lambda$ を表現する。
• ゲル・マン基底における生成子の行列表現を用い、リンドブラッド作用素に関連するエルミート行列 $C$ と $C_\varepsilon$ を得る。
• 結合系における条件 $C_1 + C_2 \geq 0$ を用いて、テンソル積マップ $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ の正性を分析する。
• 摂動論に依拠し、$\varepsilon$ が小さい範囲で $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$ が正性を保つならば、$\varepsilon$ が0の近傍で $C_\varepsilon \geq 0$ であることを示す。
• すべての $\xi \in \mathbb{C}^{n^2-1}$ に対して $\langle \xi | C_\varepsilon | \xi \rangle \geq 0$ が成り立つことから、$C_\varepsilon$ が正定値であることが導かれ、したがって $\gamma_t^\varepsilon$ がCPであることが示される。
• CPの必要性は背理法により導出される：$C_\varepsilon$ が正定値でなければ、$\varepsilon$ が小さい場合にテンソルマップの正性が成立しなくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因子分解されたマップ $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ の正性が、$\gamma_t^{(1)}$ と $\gamma_t^{(2)}$ の両方が完全正性（CP）であることを意味するか？
• RQ2 個々の部分系の力学のCPが、連成系の物理的整合性のためにどのような条件下で必要となるか？
• RQ3 一方の部分系の時間発展が他方の小さな摂動である場合、連成系の正性はどのように変化するか？
• RQ4 熱浴に結合する系では、部分系が異なる力学を経験しても、なぜ完全正性（CP）が必要となるのか？

主な発見

• 部分系が異なる力学に従う場合、一般に因子分解されたマップ $\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ の正性は、$\gamma_t^{(1)}$ や $\gamma_t^{(2)}$ の完全正性（CP）を保証しない。
• しかし、$\gamma_t^{(2)}$ が $\gamma_t^{(1)}$ の小さな摂動である場合には、$\gamma_t^{(1)} \otimes \gamma_t^{(2)}$ の正性が両マップのCPを意味する。
• すべての $\varepsilon \in I_0 = [0, \varepsilon_0]$ に対して、連成マップ $\gamma_t \otimes \gamma_t^\varepsilon$ が正性を保つのは、$\gamma_t$ と $\gamma_t^\varepsilon$ が両方とも完全正性（CP）である場合に限る。
• 完全正性（CP）の必要性は、$C_\varepsilon = C + \varepsilon\Gamma$ が小さな $\varepsilon$ に対して正定値のままである必要があることに起因する。$C$ が正定値でなければ、この条件は満たされない。
• この結果は、熱浴に結合するような弱く異なる力学を受ける二部系において、物理的整合性を保つために個々の時間発展の完全正性（CP）が要求されることを示している。