[論文レビュー] Complete Proof of the Collatz Conjecture

Farzali Izadi|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 の法における剰余類を用いた整数論的構造を分析することで、すべての奇数の正の整数がコラッツ関数を経て1に到達することを完全に証明すると主張している。証明は帰納法と剰余類に基づくケース解析を用い、各奇数整数に対して、コラッツ写像におけるより小さい前像が存在するか、あるいは軌道がより小さい奇数に還元されることを示している。最終的に1に到達することが保証される。

ABSTRACT

The extit{Collatz's conjecture} is an unsolved problem in mathematics. It is named after Lothar Collatz in 1973. The conjecture also known as Syrucuse conjecture or problem. Take any positive integer $ n $. If $ n $ is even then divide it by $ 2 $, else do "triple plus one" and get $ 3n+1 $. The conjecture is that for all numbers, this process converges to one. In the modular arithmetic notation, define a function $ f $ as follows: \[f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} \frac{n}{2} &if & n\equiv 0 \pmod 2\\ 3n+1& if& n\equiv 1 \pmod 2. \end{array} ight. \] In this paper, we present the proof of the Collatz conjecture for many types of sets defined by the remainder theorem of arithmetic. These sets are defined in mods $6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108$ and we took only odd positive remainders to work with. It is not difficult to prove that the same results are true for any mod $12m, $ for positive integers $m$.

研究の動機と目的

• 剰余類における帰納法と整数論的構造を用いて、コラッツ予想の完全な証明を提供すること。
• 特定の法における挙動を分析することで、すべての奇数の正の整数がコラッツ関数の反復作用によって1に到達することを示すこと。
• 12m の形（例：12, 24, 36, ..., 108）の法では完全な帰納的証明が可能であるが、15 や 18 のような他の法では不可能であることを示すこと。
• すべての奇数整数 k に対して、f(k′) = k を満たす k′ < k である前像が存在するか、または f(k) が E に属するより小さい奇数に還元されることを示すこと。
• コラッツ写像の反復作用で1に到達する奇数整数の集合 E が、すべての奇数の正の整数の集合 I と等しいことを証明し、予想を確認すること。

提案手法

• 論文は、奇数の正の整数について帰納法を用い、k−2 までのすべての奇数整数が E（1 に到達する整数の集合）に属すると仮定し、k が E に属することを証明する。
• 6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 の法における整数論的構造を用い、奇数の剰余のみに注目する。
• 12m における各剰余類に対して、3x+1 の算術的性質と 2 のべきによる割り切れ性に基づき、4 つの集合 U, V, W, X を定義する。
• 2 つの主要戦略を用いる：(1) 3k′+1 = k を満たすより小さい前像 k′ を見つけること、(2) f(k) < k かつ f(k) ∈ E であることを示すこと。
• 法 108 に対しては、各剰余類について k′ を明示的に構成し、f(k′) = k または f(k) ∈ E であることを確認する。この際、j ∈ V のとき 3j+1 が 4 で割り切れるという事実を用いる。
• s = 12m のとき、3x+1 の構造と 4 や 2 による除算の性質が、より小さい奇数整数への下降を保証することに依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 12m の形の法における整数論的構造を用いて、コラッツ予想を証明できるか？
• RQ2 どの法において、コラッツ関数が 1 への完全な帰納的下降を可能にするか？
• RQ3 すべての奇数の正の整数が、前像の構成またはコラッツ写像におけるより小さい像の存在によって 1 に到達することが示せるか？
• RQ4 なぜ 15 や 18 のような法では完全な証明が不可能であり、12m の法では可能なのか？
• RQ5 12m の法における剰余類を用いた分析において、コラッツ写像で 1 に到達する整数の密度が 1 に等しいか？

主な発見

• 論文は、すべての奇数の正の整数 k に対して、ある n ≥ 1 が存在し fⁿ(k) = 1 となることを証明すると主張している。これによりコラッツ予想が確認される。
• 証明は 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 を含む、12m の形のすべての法で有効であり、特に法 108 を代表例として用いている。
• 各奇数 k に対して、f(k) が E に属するより小さい奇数であるか、または f(k′) = k を満たす k′ < k である前像が存在する。
• 法 108 における集合 U, V, W, X は、各剰余類に対して、コラッツ軌道がより小さい奇数に写像されるか、有効な前像が存在することを保証するように定義されている。
• 法 108 における 4 つの剰余類 U, V, W, X の密度が 1 に等しいことが示されており、すべての奇数整数がカバーされていることを意味する。
• 法 15 や 18 では、3x+1 が十分に 2 または 4 で割り切れないため、より小さい値への下降を保証できず、証明が失敗する。