[論文レビュー] Complete proper minimal surfaces in convex bodies of $R^3$

Francisco Martín, Santiago Morales|ArXiv.org|May 26, 2004

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界でも非有界でも、滑らかでなくてもよい任意の ℝ³ 内の凸領域において、完全で適切に埋め込まれた最小曲面の存在を証明する。コンformal な埋め込みとミンコフスキーの近似定理に基づく再帰的構成を用いて、有界な凸領域内の境界を持つ任意の最小ディスクは、より大きな凸領域に適切に埋め込まれた完全な最小ディスクによってコンパクト集合上で近似可能であることを示し、凸領域におけるカルラビ＝ヤウ問題の主要な側面を解決する。

ABSTRACT

Consider a convex domain B of space. We prove that there exist complete minimal surfaces which are properly immersed in B. We also demonstrate that if D and D' are convex domains with D bounded and the closure of D contained in D' then any minimal disk whose boundary lies in the boundary of D, can be approximated in any compact subdomain of D by a complete minimal disk which is proper in D'. We apply these results to study the so called type problem for a minimal surface: we demonstrate that the interior of any convex region is not a universal region for minimal surfaces, in the sense explained by Meeks and Perez.

研究の動機と目的

• 凸領域の文脈においてカルラビ＝ヤウ問題を解決することを目的とし、完全で適切に埋め込まれた最小曲面の存在を証明すること。
• ミークスとペレスが提唱した予想とは対照的に、ℝ³ 内の任意の凸領域が最小曲面の普遍的領域ではないことを示すこと。
• ネダラシヴィリおよびジョルジュ＝コルザーの構成を一般の凸体に拡張し、球体に限らない適切性を保証すること。
• 境界が ∂D にある最小ディスクを、より大きな凸領域 D′ に適切に埋め込まれた完全な最小ディスクによって、D のコンパクト集合上で近似するための構成的技法を提供すること。
• 非有界または滑らかでない凸領域ですら、単位ディスクから完全で適切な最小埋め込みが存在することを確立すること。

提案手法

• ミンコフスキーの定理を用いて、任意の凸領域 B を、境界が滑らかな有界な解析的凸領域 {Bⁿ} の増大列で近似する。
• 再帰的変形技術（定理2に基づく）を用いて、各 Bⁿ に適切に埋め込まれたコンパクトな最小ディスク {Mₙ} の列を構成する。
• ネダラシヴィリの補題（補題2の修正版）を適用し、内在的直径の成長と凸集合内での外在的埋め込みの両方を制御する。
• 境界挙動を保つために、表面を外側に押し出す摂動法を用い、より大きな凸領域 D′ への包含関係を維持する。
• コンパクト集合上で一様収束を用いて {φₙ} の極限をとることで、完全な最小埋め込み ψ: Ω → B を得る。
• コンformal パarametrization とベルトラミー係数による曲率制御を活用し、極限において最小性と適切性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の凸領域 B ⊂ ℝ³ において、有界性や滑らかさにかかわらず、完全で適切に埋め込まれた最小曲面が存在するか？
• RQ2 ∂D に境界を持つ最小ディスクは、D のコンパクト集合上で、より大きな凸領域 D′ に適切に埋め込まれた完全な最小ディスクによって近似可能か？
• RQ3 ミークスとペレスが示唆したように、ℝ³ 内のすべての凸領域が完全な最小曲面の普遍的領域であるか？
• RQ4 ジョルジュとコルザー、またはネダラシヴィリの技法を改良することで、球体に限らない一般の凸体に対しても適切性を保証できるか？
• RQ5 最小埋め込みの列が、凸領域内で完全で適切な最小曲面に収束するための条件は何か？

主な発見

• 任意の凸領域 B ⊂ ℝ³ に対して、完全で適切に埋め込まれた最小曲面 ψ: ℂ → B が存在する。B が非有界または滑らかでなくてもよい。
• ∂D に境界を持つ任意の最小ディスクは、D のコンパクト集合上で、より大きな凸領域 D′ に適切に埋め込まれた完全な最小ディスクによって近似可能である。
• 再帰的変形によって構成された最小埋め込みの列の極限は、コンパクト集合上で一様収束し、完全で適切な最小埋め込みに収束する。
• 構成法により、表面の内在的直径は無限に増大するが、外在的幾何は凸集合内では制御されたままである。
• この方法により、極限曲面の像が周囲の凸領域の境界のコンパクト近傍を避けることが保証され、適切性が確保される。
• この結果は、コロナリー2に示されるように、ℝ³ 内の任意の凸領域が最小曲面の普遍的領域ではないことを示唆する。