[論文レビュー] Complete Quasi-Metrics for Hyperspaces, Continuous Valuations, and Previsions

Jean Goubault-Larrecq|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非ハウスドルフ的かつ非対称的な設定（コンピュータ科学の意味論において関連性がある）における超空間、連続的バリエーション、および事前予測のための一般化されたカンタロヴィチ＝ルービンシュタイン＝ハチンソン準距離を導入する。この準距離が、基礎となる空間が代数的ヨネダ完備である場合、代数的ヨネダ完備な位相を誘導し、それが弱位相と一致することを証明する。この構成により、古典的な距離空間に関する結果が非対称かつ非ハウスドルフな状況へと拡張される。

ABSTRACT

The Kantorovich-Rubinshtein metric is an $L^1$-like metric on spaces of probability distributions that enjoys several serendipitous properties. It is complete separable if the underlying metric space of points is complete separable, and in that case it metrizes the weak topology. We introduce a variant of that construction in the realm of quasi-metric spaces, and prove that it is algebraic Yoneda-complete as soon as the underlying quasi-metric space of points is algebraic Yoneda-complete, and that the associated topology is the weak topology. We do this not only for probability distributions, represented as normalized continuous valuations, but also for subprobability distributions, for various hyperspaces, and in general for different brands of functionals. Those functionals model probabilistic choice, angelic and demonic non-deterministic choice, and their combinations. The mathematics needed for those results are more demanding than in the simpler case of metric spaces. To obtain our results, we prove a few other results that have independent interest, notably: continuous Yoneda-complete spaces are consonant; on a continuous Yoneda-complete space, the Scott topology on the space of $\overline{\mathbb{R}}_+$-valued lower semicontinuous maps coincides with the compact-open and Isbell topologies, and the subspace topology on spaces of $α$-Lipschitz continuous maps also coincides with the topology of pointwise convergence, and is stably compact; we introduce and study the so-called Lipschitz-regular quasi-metric spaces, and we show that the formal ball functor induces a Kock-Zöberlein monad, of which all algebras are Lipschitz-regular; and we prove a minimax theorem where one of the spaces is not compact Hausdorff, but merely compact.

研究の動機と目的

• ポーランド空間における弱収束の距離化に知られるカンタロヴィチ＝ルービンシュタイン距離を、非ハウスドルフ的かつ非対称な準距離空間へと拡張すること。
• 対称性やコンパクト性の仮定がなくても、連続的バリエーション、部分確率測度、および事前予測の空間における完備性と位相的一致性を確立すること。
• 代数的ヨネダ完備性と位相的一致性を保証することで、確率的および非決定的計算の意味論の基盤を提供すること。

提案手法

• 下半連続かつリプシッツ連続な写像の双対性を介して、関数的（事前予測）におけるカンタロヴィチ＝ルービンシュタイン＝ハチンソン準距離を定義する。
• リプシッツ正則な準距離空間を定義・研究し、形式的ボール関手がKock-Zöberleinモノイドを誘導することを示し、その代数がまさにリプシッツ正則空間であることを証明する。
• 形式的ボール構成を用いて、バリエーションおよび事前予測の空間における準距離を定義し、リプシッツ関数との双対性を活用する。
• 連続的ヨネダ完備空間において、拡張実数値下半連続写像の空間におけるスコット位相、コンパクト開位相、およびイズベル位相が一致することを証明する。
• A/D/P再帰的ペアを用いたリトラクションおよび埋め込み技法を適用し、事前予測の弱位相がd_KR^a-スコット位相と一致することを示す。
• コンパクトハウスドルフ性の仮定がなくても成り立つ、部分線形および超線形事前予測に関するミニマックス定理および双対性結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる空間が代数的ヨネダ完備である場合、連続的バリエーションの空間におけるカンタロヴィチ＝ルービンシュタイン＝ハチンソン準距離は、代数的ヨネダ完備性を誘導するか？
• RQ2 非ハウスドルフ的かつ非対称な設定において、事前予測の空間における弱位相は、d_KR^a-スコット位相として回復可能か？
• RQ3 準レンズのプロットキン型パワー領域におけるd_KR^a準距離が、フォークまたはバリエーションの空間へのリトラクションをもたらす条件は何か？
• RQ4 完全な準距離空間上のすべての連続的バリエーションの空間は、一般化されたKR型準距離により距離化可能か？
• RQ5 双対性定理におけるカップリングは、X×X 上の確率的バリエーションとして表現可能か？どのような仮定の下で？

主な発見

• 基礎空間が代数的ヨネダ完備である場合、連続的バリエーションの空間におけるカンタロヴィチ＝ルービンシュタイン＝ハチンソン準距離は代数的ヨネダ完備である。
• 連続的ヨネダ完備空間において、拡張実数値下半月連続写像の空間におけるスコット位相、コンパクト開位相、およびイズベル位相が一致する。
• α-リプシッツ連続写像の部分空間は、点ごとの収束位相を誘導し、d_KR^a準距離に関して安定的にコンパクトである。
• 形式的ボール関手は、その代数がまさにリプシッツ正則な準距離空間であるKock-Zöberleinモノイドを誘導する。
• 事前予測の空間におけるd_KR^a-スコット位相は、リトラクションおよび埋め込みの位相的議論により、弱位相と一致する。
• コンパクトハウスドルフ性の仮定がなくても、部分線形および超線形事前予測に関してミニマックス定理が確立される。