[論文レビュー] Complete topologized posets and semilattices

Тарас Банах, Serhii Bardyla|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、完全性の概念である完備な位相付き半順序集合および半ラティスを導入し、鎖や有向集合の上限・下限の位相的閉包に注目してその性質を調査する。本稿では、鎖による上限・下限の閉包性として定義される完全性が、有向集合による同値な特徴づけに等価であることを示し、特定の分離公理およびコンパクト性条件の下で、完全な半位相的半ラティスにおける部分順序が積空間に閉じていることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of completeness of topologized posets and survey some recent results on closedness properties of complete topologized semilattices.

研究の動機と目的

• 位相付き半順序集合における完全性の概念を形式化・分析し、鎖の上限・下限がその鎖の閉包に含まれることを要件とする。
• 半ラティスにおける位相的閉包性と順序論的完全性の関係を調査する。
• 半位相的半ラティスにおける部分順序が積空間に閉じるための条件を同定する。
• 完全な半位相的半ラティスにおいて、部分順序関係の閉包性と分離公理の間の同値性を確立する。

提案手法

• サイズが $\kappa$ 以下の鎖や有向集合を用いて、${\text{up}}\kappa$-完備および${\text{down}}\kappa$-完備な位相付き半順序集合の概念を導入する。
• 超限帰納法および上向き有向部分集合の再帰的構成を用いて、鎖の完全性が有向集合による完全性に帰着できることを証明する。
• 位相的性質として $U$-、$V$-、および $\downarrow\uparrow$-閉包性を用いて、半位相的半ラティスにおける分離性と順序閉包性を特徴付ける。
• 一般位相の結果（例えば、逐次空間や関数的ハウスドルフ空間）を応用し、部分順序の閉包性を導く条件を導出する。
• ラウソン位相および閉じた部分半ラティスの概念を用いて、分離性と順序閉包性の性質を分析する。
• 反例（例えば、[8] や [9] における例）を構成することで、完全性が順序閉包性に不可欠であることを示し、$\uparrow$-有限な半位相的半ラティスが部分順序を閉じない場合があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な半位相的半ラティスにおいて、部分順序が積空間に閉じるための位相的条件は何か？
• RQ2 $U$-、$V$-、および $\downarrow\uparrow$-閉包性の性質は、半位相的半ラティスにおける分離公理と順序閉包性とどのように関係するか？
• RQ3 $\omega_1$-ラウソン完備な半位相的半ラティスにおいて、部分順序は閉じているか？
• RQ4 一般の有向集合ではなく鎖を用いた完全性の特徴づけが、位相付き半順序集合において同値に可能か？
• RQ5 どのような位相的性質が、鎖の閉包にその上限・下限が含まれることを保証するか？

主な発見

• 位相付き半順序集合が ${\uparrow}\kappa$-完備であることは、サイズが $\kappa$ 以下のすべての鎖の上限がその鎖の閉包に含まれることと同値である。
• ハウスドルフ性、$\omega$-ラウソン性、または $\vec{T}_{2\delta}$ 条件を満たす完全な半位相的半ラティス $X$ に対して、その部分順序 $\leq_X$ は $X \times X$ に閉じている。
• 整礎的または $\downarrow$-有限な半位相的半ラティスにおいて、部分順序が $X \times X$ に閉じていることは、空間がハウスドルフまたは $\downarrow\uparrow$-閉じていることと同値である。
• 完全性が不可欠であることを示す反例が存在する：$\uparrow$-有限な距離空間としての半位相的半ラティスでは、部分順序が $X \times X$ に閉じていない例が存在する。
• 半位相的 $U$-半ラティスが $\uparrow$-閉じている場合、その部分順序は $X \times X$ に閉じており、これはハウスドルフ性を示唆する。
• 完全な半位相的半ラティスが $1$-ラウソンであることは、部分順序が $X \times X$ に閉じていることと同値であり、これは複数の分離条件のもとで成立する。