[論文レビュー] Complete translating solitons to the mean curvature flow in $\mathbb{R}^3$ with nonnegative mean curvature

Joel Spruck, Ling Xiao|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における非負の平均曲率をもつ完全で埋め込まれた二面的移動ソリトンがすべて凸であることを証明する。最大原理の技法と漸近的解析を用いて、このようなソリトンが軸対称な「ボウルソリトン」またはストリップ領域上のグラフィカルソリトンであるに他ならないことが示され、平均凸性のもとでその漸近的対称性と幾何的構造が完全に分類される。

ABSTRACT

We prove that any complete immersed two-sided mean convex translating soliton $Σ\subset \mathbb{R}^3$ for the mean curvature flow is convex. As a corollary it follows that an entire mean convex graphical translating soliton in $\mathbb{R}^3$ is the axisymmetric "bowl soliton". We also show that if the mean curvature of $Σ$ tends to zero at infinity, then $Σ$ can be represented as an entire graph and so is the "bowl soliton". Finally we classify all locally strictly convex graphical translating solitons defined over strip regions.

研究の動機と目的

• ℝ³における非負の平均曲率をもつ完全で埋め込まれた二面的移動ソリトンを分類すること。
• Wang (2013)の予想を n=2 において解決することにより、ℝ³における整関数の平均凸グラフィカル移動ソリトンが回転対称であることを証明すること。
• ストリップ領域上に定義された局所的に強い凸性をもつグラフィカル移動ソリトンの漸近的挙動を特定すること。
• 平均曲率が無限遠で 0 に近づく場合に、このようなソリトンが整関数となる条件を確立すること。
• 動く平面法と楕円型偏微分方程式解析を用いて、グラフィカルソリトンの対称性と一意性を証明すること。

提案手法

• 移動平面配置における解の差に最大原理を適用し、厳密な正性と対称性を確立する。
• グラフィカル移動ソリトンのための楕円型Monge–Ampère型方程式を用いる：$ u_{x_1x_1}(1+u_{x_2}^2) + u_{x_2x_2}(1+u_{x_1}^2) = (1+|Du|^2)^{3/2} $、これは平均曲率条件から導かれる。
• 無限遠における勾配 $ Du $ の漸近的解析を用いて、成長を制御し、ガウス写像の有界性を証明する。
• 補題 5.7 を適用し、半ストリップ領域におけるガウス写像 $ W = \sqrt{1 + |Du|^2} $ に対して一様な有界性を導出し、幅が減少する場合には不完全性に矛盾することを示す。
• バリア関数と境界挙動を用いた動く平面法を適用し、$ x_1 = 0 $ に関する反射対称性を証明する。
• 極限の拡大解析を分析し、無限遠における $ u_{x_2} $ の収束を用いて、勾配および曲率に対する一様な有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³における完全で平均凸な移動ソリトンは、すべて必然的に凸であるか？
• RQ2 ℝ³における整関数の平均凸グラフィカル移動ソリトンが回転対称でないことはあり得るか？
• RQ3 ストリップ領域上に定義された局所的に強い凸性をもつグラフィカル移動ソリトンの漸近的挙動は何か？
• RQ4 平均曲率が無限遠で $ H \to 0 $ に近づく場合、どのような条件下で移動ソリトンが整関数となるか？
• RQ5 'ボウルソリトン'はℝ³における唯一の整関数の平均凸グラフィカル移動ソリトンであるか？

主な発見

• ℝ³における非負の平均曲率をもつ完全で埋め込まれた二面的移動ソリトンはすべて凸である。
• ℝ³における整関数の平均凸グラフィカル移動ソリトンは、必ず軸対称な「ボウルソリトン」である。
• 完全な移動ソリトンの平均曲率が無限遠で 0 に近づくならば、そのソリトンは整関数であり、したがってボウルソリトンである。
• ストリップ領域上に定義されたすべての局所的に強い凸性をもつグラフィカル移動ソリトンは、$ x_1 = 0 $ 平面に関して対称である。
• このようなストリップソリトンに関しては、$ x_1 > 0 $ に対して $ u_{x_1}(x_1,x_2) > 0 $ であり、勾配 $ u_{x_2} $ は無限遠で一様に定数に収束する。
• ストリップ領域の幅は漸近的極限において縮まないため、極限プロファイルは完全なストリップまたは平面そのものであり、幅の減少は生じない。