[論文レビュー] Complete Willmore surfaces in H3 with bounded energy: boundary regularity and bubbling

Spyros Alexakis, Rafe Mazzeo|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双曲的3次元空間における完全で適切に埋め込まれたウィルモア表面に対して、有界な重み付きウィルモアエネルギーがC¹境界正則性を制御することを確立し、C¹収束の失敗の原因として無限遠におけるエネルギーのバブル化を同定する。エネルギーが小さい場合にはC¹正則性が成立することを証明し、コンactnessの喪失を境界点におけるエネルギー集中によって特徴づける。

ABSTRACT

We study various aspects related to boundary regularity of complete properly embedded Willmore surfaces in H3, particularly those related to assumptions on boundedness or smallness of a certain weighted version of the Willmore energy. We prove, in particular, that small energy controls C1 boundary regularity. We examine the possible lack of C1 convergence for sequences of surfaces with bounded Willmore energy and find that the mechanism responsible for this is a bubbling phenomenon, where energy escapes to infinity.

研究の動機と目的

• H³における完全で適切に埋め込まれたウィルモア表面の境界正則性を、エネルギーが有界であるという仮定の下で理解すること。
• エネルギーが有界なようなこれらの表面の系列におけるC¹収束の失敗を分析すること。
• C¹収束の欠如の原因であるメカニズム（無限遠におけるエネルギーのバブル化）を同定すること。
• 重み付きウィルモアエネルギーが境界正則性を制御することを確立すること。
• 幾何学的および解析的道具を用いて、ウィルモア表面の無限遠近傍における漸近的挙動を特徴づけること。

提案手法

• f を内部の極への内在的距離とする重み付きウィルモアエネルギー関数 E_p(Y) = ∫_Y |A̲|² f²ᵖ dμ を導入する。ここで p > 1 である。
• Partition of unity とモデルチャートを用いて、t に依存するノルムを持つ重み付き Hölder 空間 C^{ℓ,α}_δ,t(Y′_t) を定義し、無限遠近傍における局所的挙動を分析する。
• 双曲的半空間とキャップされた端を用いたモデル作用素を用いて、切断された表面 Y′_t 上でのジャコビ作用素 L_t のパラメトリックスを構成する。
• ジャコビ作用素の逆作用素を用いて摂動を制御し、Y′_t 上の正規グラフ上で最小曲面方程式を解くために、収縮写像の議論を適用する。
• t → ∞ のとき、重み付き Hölder 空間上のジャコビ作用素の逆作用素が一様に有界なノルムを持つことを示し、解の可解性を保証する。
• カットオフ関数を用いてモデル領域からの推移を行い、結果として得られる表面 Y_t が、有限個の境界点を除いて C² で収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な重み付きウィルモアエネルギーは、H³における完全なウィルモア表面に対してC¹境界正則性を保証するか？
• RQ2 エネルギーが有界なウィルモア表面の系列におけるC¹収束の失敗の原因は何か？
• RQ3 このような系列においてエネルギーがどのように無限遠へ逃げるか、そしてそれがどのように定量化できるか？
• RQ4 重み付きエネルギー関数を用いることで、ウィルモア表面の無限遠近傍における漸近的挙動を制御できるか？
• RQ5 H³におけるウィルモア表面の境界正則性は、重み付きウィルモアエネルギーの有限性によって決定されるか？

主な発見

• 小さな重み付きウィルモアエネルギー E_p(Y) は、H³における完全なウィルモア表面に対してC¹境界正則性を意味する。
• エネルギーが有界なような系列におけるC¹収束の失敗は、エネルギーが無限遠における漸近的境界へと逃げ込む「エネルギーのバブル化」に起因する。
• t → ∞ のとき、重み付き Hölder 空間上のジャコビ作用素の逆作用素は一様に有界なノルムを持つため、制御された正則性を持つ解の構成が可能である。
• エネルギーが有界なウィルモア表面の系列は、有限個の境界点を除いてC²収束するため、正則性の局所的喪失が生じていることが示された。
• 標準的なウィルモアエネルギーでは制御できないが、重み f²ᵖ が無限遠で減少するため、重み付きエネルギー関数 E_p(Y) は境界正則性を制御する。
• グリューニング構成により、k 個の境界点を除いてC²収束する埋め込み表面 Y_t が得られ、漸近的境界曲線が保存される。