[論文レビュー] Completely integrable torus actions on complex manifolds with fixed points

Hiroaki Ishida, Yael Karshon|Osaka City University (Osaka City University)|Mar 5, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素次元 $ n $ のコンpaktoな連結な複素多様体が、固定点を持つ忠実な正則的 $ (S^1)^n $-作用を持つ場合、その多様体は滑らかなトーリック多様体と等変に正則同型であることを証明する。証明は、トーラス作用の軌道構造と固定点集合の解析に依拠し、関連するファンが完全であること、したがってその多様体がユニモジュラーな完全ファンによって定義されるトーリック多様体と正則同型であることを示す。

ABSTRACT

We show that if a holomorphic $n$ dimensional compact torus action on a compact connected complex manifold of complex dimension $n$ has a fixed point then the manifold is equivariantly biholomorphic to a smooth toric variety.

研究の動機と目的

• コンパクトな複素多様体に正則的トーラス作用が作用する場合、それがトーリック多様体と正則同型であるための必要十分条件を特定すること。
• ブーツターバーグとパノフが提起した、不変複素構造を持つ非トーリックなクォージトーリック多様体の存在に関する問題を解決すること。
• 古典的なトーリック多様体の理論を、複素解析的設定に拡張することにより、固定点を持つトーラス作用をもつコンパクトな複素多様体を特徴づけること。
• そのような多様体の完全な分類を、関連するファンの構造と軌道分解の性質を用いて確立すること。

提案手法

• 多様体上のトーラス作用の軌道構造と固定点データから、ユニモジュラーなファン $ \Delta $ を構成する。
• 余次元1の部分トーラス $ T_I $ の固定点集合を解析し、それらが標準的な円作用を伴う $ \mathbb{CP}^1 $ と等変に正則同型であることを示す。
• 各余次元1の固定点集合が連結かつコンパクトであることから、ファン $ \Delta $ の各 $ (n-1) $ 次元の錐が、ちょうど2つの $ n $ 次元の錐の共通の面であることを導く。
• ファン $ \Delta $ の $ n $ 次元および $ (n-1) $ 次元の錐の相対内部の和集合が、$ \operatorname{Lie}(S^1)^n \setminus |\Delta^{n-2}| $ において開かつ閉であることを示し、これにより $ \Delta $ が完全であることが示される。
• トーリック多様体 $ M_\Delta $ と多様体 $ M $ の中での $ (\mathbb{C}^*)^n $-不変な開かつ稠密な部分集合 $ X \subset M $ の間で等変な正則同型写像を構成し、コンパクト性と連結性により $ X = M $ であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな複素多様体に正則的 $ (S^1)^n $-作用が作用する場合、どのような条件下でそれがトーリック多様体と正則同型になるか？
• RQ2 固定点を持つ非トーリックなクォージトーリック多様体が、$ (S^1)^n $-不変な複素構造をもつことは可能か？
• RQ3 固定点の存在が、コンパクトな複素多様体上のトーラス作用の関連ファンが完全であることを強制するのだろうか？
• RQ4 コンパクトな複素多様体上の正則的トーラス作用の軌道構造が、その多様体のグローバルな正則同型型を決定づけるのか？
• RQ5 固定点のデータを用いて、滑らかなトーリック多様体の分類を複素解析的カテゴリーに拡張することは可能か？

主な発見

• 複素次元 $ n $ のコンパクトで連結な複素多様体が、忠実な正則的 $ (S^1)^n $-作用と固定点を持つ場合、それは滑らかなトーリック多様体と等変に正則同型である。
• トーラス作用に関連するファン $ \Delta $ は完全である。これは、その錐が全 Lie 空間 $ \operatorname{Lie}(S^1)^n $ を覆うことを意味する。
• ファン内の各 $ (n-1) $ 次元の錐は、ちょうど2つの $ n $ 次元の錐の共通の面である。これはファンの完全性に重要な性質である。
• 任意の余次元1の部分トーラスの固定点集合は、連結かつコンパクトな複素曲線であり、標準的な円作用を伴う $ \mathbb{CP}^1 $ と等変に正則同型である。
• 多様体 $ M $ の中での $ (\mathbb{C}^*)^n $-不変な開かつ稠密な部分集合 $ X \subset M $ は、コンパクト性と開性により、全体の多様体 $ M $ に等しい。したがって、トーリック多様体 $ M_\Delta $ は $ M $ と正則同型である。