[論文レビュー] Completely positive inner products and strong Morita equivalence

Henrique Bursztyn, Stefan Waldmann|ArXiv.org|Sep 24, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、*-代数における強いモラータ同値性の統一的枠組みを確立し、C*-代数およびポisson多様体上のヘルミート星積に適用する。完全正定値内積を導入することで、強いモラータ同値性と環論的モラータ同値性が同じ同値関係を定めるが、異なるピカード群コアをもたらすことが示され、その差は変形量力学におけるコホモロジー的に記述される。

ABSTRACT

We develop a general framework for the study of strong Morita equivalence in which $C^*$-algebras and hermitian star products on Poisson manifolds are treated in equal footing. We compare strong and ring-theoretic Morita equivalences in terms of their Picard groupoids for a certain class of unital $^*$-algebras encompassing both examples. Within this class, we show that both notions of Morita equivalence induce the same equivalence relation but generally define different Picard groups. For star products, this difference is expressed geometrically in cohomological terms.

研究の動機と目的

• C*-代数とヘルミート星積の両方に適用可能な、強いモラータ同値性の一般代数的枠組みを構築すること。
• 順序付けられた環上の*-代数の文脈において、強いモラータ同値性と環論的モラータ同値性の関係を明確にすること。
• 強いピカード群コアと古典的ピカード群コアの違いを、コホモロジー的障害として特徴づけること。
• C*-代数と変形量力学におけるモラータ同値性の既知の結果を、共通の代数的設定に拡張すること。
• ヘルミート星積に対して、強いピカード群コアから古典的ピカード群コアへの標準的準同型が単射であり、全射性は第一ポアソンコホモロジーの消失に依存することを示すこと。

提案手法

• R(i)の形（RおよびR[[λ]]を含む）の環上の*-代数に対して、完全正定値内積を用いた純粋代数的強いモラータ同値性の概念を導入する。
• 非退化かつ冪等的な*-代数のカテゴリにおいて、双加法的モジュールを射とする、強いピカード群コアPic^strを定義する。
• リエッフェルの表現の誘導およびテンソル積構成が、この代数的設定に一般化されることを確立する。
• Pic^strとPicの間の標準的群コア準同型を用いて比較し、同じ軌道（同値類）を持つが、異なる自己同型群（同型群）を持つことを示す。
• バーカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式と星積の自己同型の分解を用いて、星積の*-自己同型をe^{iλD}∘Ψの形に分析する。
• Pic^str ≅ Picでない障害を、特に第一ド・ラームコホモロジー群H^1_{dR}(M,C)を介してコホモロジー的表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いモラータ同値性と環論的モラータ同値性は、広範な*-代数のクラスにおいて、同じ同値関係を定めるか？
• RQ2 *-代数における強いピカード群コアPic^strと古典的ピカード群コアPicの正確な関係は何か？
• RQ3 Pic^strとPicの自己同型群はどのように異なり、その違いを制御するコホモロジー的不変量は何か？
• RQ4 ヘルミート星積に対して、標準的準同型Pic^str → Picが同型となる条件は何か？
• RQ5 星積の自己同型の構造は、ユニタリ的および内部的類似の部分に一意に分解可能か？ そして、その分解はモラータ同値性にどのように影響するか？

主な発見

• 条件 (I)、(II+)、(III) を満たす単位的*-代数に対して、強いモラータ同値性と環論的モラータ同値性は同じ同値関係を定める。すなわち、ピカード群コアにおける同じ軌道（同値類）を持つ。
• ヘルミート星積に対して、標準的準同型Pic^str → Picは、補題8.7で示されるように単射である。
• 準同型Pic^str → Picが全射（したがって同型）であるのは、星積のすべての*-微分が擬似内部的である、すなわちあるHに対して(i/λ)ad(H)の形に書けるとき、かつそのときに限る。
• シンプレクティック多様体に対しては、準同型Pic^str → Picが同型であるのは、第一ド・ラームコホモロジー群H^1_{dR}(M,C)が消失するとき、かつそのときに限る。
• 任意のヘルミート星積の*-自己同型は、一意にΦ = e^{iλD}∘Ψの形に分解可能であり、ここでDは*-微分、Ψは*-自己同型である。これは命題8.8で証明された。
• 同値類が一致しても、Pic^strとPicの自己同型群は一般に異なるため、強いモラータ同値性は環論的モラータ同値性よりも厳密な不変量であることが示された。