[論文レビュー] Completely random measures for modeling power laws in sparse graphs

Diana Cai, Tamara Broderick|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、完全にランダムな測度、特に3パラメータのベータ過程を用いて、実世界のネットワークで観察される多様なスケーリング則の性質を捉える、スパースグラフのための新規生成モデルを提案する。モデルはスパarsityを達成し、エッジスケーリング、次数1の頂点、次数分布に関してそれぞれタイプI、IIa、IIIaのスケーリング則を示す。シミュレーションにより、傾き1.2、1.1、-1.6の結果が得られた。

ABSTRACT

Network data appear in a number of applications, such as online social networks and biological networks, and there is growing interest in both developing models for networks as well as studying the properties of such data. Since individual network datasets continue to grow in size, it is necessary to develop models that accurately represent the real-life scaling properties of networks. One behavior of interest is having a power law in the degree distribution. However, other types of power laws that have been observed empirically and considered for applications such as clustering and feature allocation models have not been studied as frequently in models for graph data. In this paper, we enumerate desirable asymptotic behavior that may be of interest for modeling graph data, including sparsity and several types of power laws. We outline a general framework for graph generative models using completely random measures; by contrast to the pioneering work of Caron and Fox (2015), we consider instantiating more of the existing atoms of the random measure as the dataset size increases rather than adding new atoms to the measure. We see that these two models can be complementary; they respectively yield interpretations as (1) time passing among existing members of a network and (2) new individuals joining a network. We detail a particular instance of this framework and show simulated results that suggest this model exhibits some desirable asymptotic power-law behavior.

研究の動機と目的

• 実世界のネットワークで観察される現実的なスケーリング則を捉えるスパースグラフの生成モデルを開発すること。
• アールドス–フーバーの定理に基づく仮定により、既存のモデルが密なグラフを生成してしまうという限界を解消すること。
• 密度を超えたネットワークモデルのツールキットを拡張し、次数分布、クラスタリング、特徴割り当てにおける多様なスケーリング則を組み込むこと。
• 異なる基本測度（3パラメータのベータ過程を含む）でインスタンス化可能な、完全にランダムな測度に基づく柔軟なフレームワークを提供すること。
• 理論的および実験的に、モデルがスパースグラフ生成において望ましい漸近的スケーリング則の性質を示すかどうかを調査すること。

提案手法

• フレームワークは、完全にランダムな測度（CRM）を用い、CRMから抽出された重みに基づく独立なベルヌーイ試行によりグラフのエッジ確率を定義する。
• モデルは、原子と重みを生成するスティックバーキング構成を用いた3パラメータのベータ過程を、基礎となるCRMとして指定する。
• 計算の実行可能性を確保するため、原子の数を5000に切り詰める。パラメータはγ=3、θ=1、α=0.1とする。
• N個の頂点をサンプリングし、CRMからの重みの積に基づいてエッジ確率を割り当てることでグラフを生成する。
• Nの増加に伴い、既存の原子をインスタンス化することで、新規ノードの追加ではなく既存ノード間の進化をモデル化する。
• N=50から2000までの範囲でシミュレーションを実施し、スケーリング則の挙動とスケーリング則の適合度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CRMに基づく生成モデルは、アールドス–フーバーの定理が示唆する密なグラフの挙動を避けるスパースグラフを生成できるか？
• RQ2 モデルは頂点数とエッジ数の間にタイプIのスケーリング則を示すか？
• RQ3 モデルは頂点数と次数1の頂点数の間にタイプIIaのスケーリング則を示すか？
• RQ4 次数分布は、実世界のネットワークで観察されるようにタイプIIIaのスケーリング則に従うか？
• RQ5 モデルはタイプIIbおよびIIIbのような他の種類のスケーリング則を捉えるために拡張可能か？また、その理論的漸近的性質は何か？

主な発見

• モデルは、頂点数とエッジ数の間の2次未塔のスケーリング（傾き1.2）により、スパースグラフを生成することが裏付けられ、これはタイプIのスケーリング則を示している。
• 次数1の頂点数は、高N領域において頂点総数と比例し、タイプIIaのスケーリング則に従う（傾き1.1）。
• 次数分布は、低次数の頂点においてタイプIIIaのスケーリング則に従い、傾き-1.6の結果が得られた。これは実世界のネットワークと整合的である。
• シミュレーションにより、モデルが同時に複数のスケーリング則の挙動を捉えられることを確認した。これは、複雑なネットワーク構造のモデル化における可能性を示唆している。
• モデルの挙動は、既存のモデルと補完的である。本モデルは、ノードの追加ではなく既存ノード間の進化を解釈するが、他のモデルは新規ノードの追加を仮定している。
• 予備的な結果から、本モデルは今後の理論的分析や実世界のスパースネットワークにおける実用的推論のための有望な候補であると考えられる。