[論文レビュー] Completely Reachable Automata: A Polynomial Algorithm and Quadratic Upper Bounds

Robert Ferens, Marek Szykuła|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2022

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、決定的有限オートマトンが完全到達可能かどうかを O(|Σ|·n²) 時間および O(|Σ|·n) 空間で決定する多項式時間アルゴリズムを提示する。ここで n は状態数である。さらに、空でない部分集合に対する到達閾値の二次上界を証明し、Don の予想を一般化し、完全到達可能なオートマトンにおけるリセット閾値の上界が O(n²) であることを示す。

ABSTRACT

A complete deterministic finite (semi)automaton (DFA) with a set of states $Q$ is \emph{completely reachable} if every nonempty subset of $Q$ is the image of the action of some word applied to $Q$. The concept of completely reachable automata appeared, in particular, in connection with synchronizing automata; the class contains the Čern{ý} automata and covers several distinguished subclasses. The notion was introduced by Bondar and Volkov (2016), who also raised the question about the complexity of deciding if an automaton is completely reachable. We develop an algorithm solving this problem, which works in ${\mathcal{O}(|Σ|\cdot n^2)}$ time and $\mathcal{O}(|Σ|\cdot n)$ space, where $n=|Q|$ is the number of states and $|Σ|$ is the size of the input alphabet. In the second part, we prove a weak Don's conjecture for this class of automata: a nonempty subset of states $S \subseteq Q$ is reachable with a word of length at most $2n(n-|S|) - n \cdot H_{n-|S|}$, where $H_i$ is the $i$-th harmonic number. This implies a quadratic upper bound in $n$ on the length of the shortest synchronizing words (reset threshold) for the class of completely reachable automata and generalizes earlier upper bounds derived for its subclasses.

研究の動機と目的

• 与えられたオートマトンが完全到達可能かどうかを解く未解決問題を解決すること。
• 任意の空でない状態部分集合に到達するのに必要な語の長さのタイトな上界を確立すること。
• 完全到達可能なオートマトンのクラスにおけるDonの予想を一般化すること。
• 同期的オートマトンの部分クラスにおける既存のリセット閾値の上界を改善すること。
• 同期的オートマトンの効率的なテストと解析のための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 全状態集合への語の作用を通じて部分集合の到達可能性を分析する基盤の決定アルゴリズムを開発する。
• 逆像と群軌道を用いた到達可能な部分集合の新しい特徴付けを用いる。
• 調和数の上限を用いて語の長さのタイトな推定を導出する。
• Rystsovのグラフ一般化と置換的および特異的記号を有するオートマトンの構造的性質を活用する。
• 短い語から長い到達語を再帰的に構築する拡張技術を採用する。
• 群軌道のサイズと調和級数を用いて、部分集合に到達する語の長さを制限する手法を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DFAの完全到達可能性は多項式時間で決定可能か？
• RQ2 完全到達可能なオートマトンにおいて、任意の空でない状態部分集合に到達するのに必要な語の長さのタイトな上界は何か？
• RQ3 Donの予想は完全到達可能なオートマトンのクラスにおいて成り立つか？成り立つならばどのような形で？
• RQ4 完全到達可能なオートマトンのリセット閾値は n の二次関数で上界付け可能か？
• RQ5 群軌道のサイズなどの構造的性質は、到達可能性の上界にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、DFAの完全到達可能性を O(|Σ|·n²) 時間および O(|Σ|·n) 空間で決定するアルゴリズムを提示する。
• Donの予想の弱い形を証明した：任意の空でない部分集合 S ⊆ Q は、長さが 2n(n−|S|)−n·H_{n−|S|} 以下の語で到達可能である。ここで H_i は i 番目の調和数である。
• この上界により、完全到達可能なオートマトンにおけるリセット閾値に二次上界が得られ、具体的には n≥6 のとき ≤ 2n(n−2)−n·ln(n−2)−γn+1 である。
• 最大群軌道サイズ ℓ≤ln n のとき、上界は n(n−|S|) に厳しくなる。これは、このようなオートマトンにおいてCerný予想が成立することを示唆する。
• 単純な冪等元を有するクラスや、一意的1収縮的オートマトンなどの既存の部分クラスに対する先行の上界を改善する。
• 大きな部分集合（サイズ ≥n−ω(1)）の到達可能性への緩和により、一般化された避ける語の方法を用いて、サブキュービックのリセット閾値、すなわち o(n³) を得る。