[論文レビュー] Completeness and the ZX-calculus

Miriam Backens|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 64被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、純粋状態の安定化子量子力学および1キュービットの Clifford+T 群について、zx記法の完全性を確立し、これらの断片内でのすべての等価性が図式的に導出可能であることを示している。さらに、Spekkensの玩具理論のための図式的記法を導入し、その完全性を証明するとともに、同型な形式的枠組みを用いて安定化子量子力学と直接比較可能であることを示している。

ABSTRACT

Graphical languages offer intuitive and rigorous formalisms for quantum physics. They can be used to simplify expressions, derive equalities, and do computations. Yet in order to replace conventional formalisms, rigour alone is not sufficient: the new formalisms also need to have equivalent deductive power. This requirement is captured by the property of completeness, which means that any equality that can be derived using some standard formalism can also be derived graphically. In this thesis, I consider the ZX-calculus, a graphical language for pure state qubit quantum mechanics. I show that it is complete for pure state stabilizer quantum mechanics, so any problem within this fragment of quantum theory can be fully analysed using graphical methods. This includes questions of central importance in areas such as error-correcting codes or measurement-based quantum computation. Furthermore, I show that the ZX-calculus is complete for the single-qubit Clifford+T group, which is approximately universal: any single-qubit unitary can be approximated to arbitrary accuracy using only Clifford gates and the T-gate. [...] Lastly, I extend the use of rigorous graphical languages outside quantum theory to Spekkens' toy theory, a local hidden variable model that nevertheless exhibits some features commonly associated with quantum mechanics. [...] I develop a graphical calculus similar to the ZX-calculus that fully describes Spekkens' toy theory, and show that it is complete. Hence, stabilizer quantum mechanics and Spekkens' toy theory can be fully analysed and compared using graphical formalisms. Intuitive graphical languages can replace conventional formalisms for the analysis of many questions in quantum computation and foundations without loss of mathematical rigour or deductive power.

研究の動機と目的

• 純粋状態の安定化子量子力学におけるzx記法の完全性を確立し、この断片内で導出可能なすべての等価性が図式的に導出可能であることを保証する。
• 量子計算の普遍的なゲートセットである1キュービットのClifford+T群への完全性の拡張を図り、近似的に普遍的な量子回路の図式的解析を可能にする。
• Spekkensの玩具理論—量子的特徴を有する古典的隠れ変数モデル—のための厳密な図式的記法を開発し、その完全性を証明する。
• 同型な図式的枠組みを用いて、安定化子量子力学とSpekkensの玩具理論の直接比較を可能にする。
• 直感的な図式的言語が、量子基礎および計算分野における従来の形式的枠組みに同等の演繹的力を持ちながら置き換え可能であることを示す。

提案手法

• 圏論とストリング図を用いて、ZおよびXのスパインジャーとその位相パラメータを生成子とする図式的言語としてzx記法を形式化する。
• 安定化子量子力学に対して整合的かつ完全である rewrite ルール（例：スパインジャーの融合、バイアリズム、Euler分解）の集合を定義する。
• グラフ状態と局所的Clifford操作を用いて、安定化子状態図の正規形を構築し、図の正規化による等価性のテストを可能にする。
• 任意のユニタリが有限なルールセットを用いてzx記法で表現可能であり、等価であることを示すことで、1キュービットのClifford+T群に対する完全性を証明する。
• zx記法のフレームワークをSpekkensの玩具理論に適応させ、zx記法の構造を模倣する類似の生成子とrewriteルールを定義する。
• マップ-状態双対性と二進形式を用いて、安定化子量子力学と玩具理論を関連付け、同型な図式的計算体系を通じて構造的比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的枠組みで導出可能なすべての等価性が図式的にも導出可能であるという意味で、純粋状態の安定化子量子力学におけるzx記法の完全性は成立するか？
• RQ2 量子計算において近似的に普遍的な1キュービットのClifford+T群について、zx記法を拡張して完全性を達成できるか？
• RQ3 Spekkensの玩具理論のための図式的記法を構築できるか。その記法は整合的かつ完全である必要がある。
• RQ4 同型な図式的枠組みを用いて分析した場合、安定化子量子力学とSpekkensの玩具理論の間にはどのような構造的類似点と相違点があるか？
• RQ5 これらの断片におけるzx記法の完全性により、実用的な量子計算の文脈で量子回路の自動推論と簡略化が可能になるか？

主な発見

• 純粋状態の安定化子量子力学におけるzx記法は完全である。すなわち、標準的枠組みで導出可能な任意の等価性が、zx図と与えられたrewriteルールを用いて図式的に導出可能である。
• 1キュービットのClifford+T群におけるzx記法は完全である。これにより、CliffordゲートとTゲートのみを用いた任意の1キュービット量子回路について、完全に図式的に解析可能である。
• Spekkensの玩具理論の最大知識断片のための新しい図式的記法が導入され、その普遍性、整合性、完全性が証明された。
• Spekkensの玩具理論の図式的記法は構造的にzx記法と同型であるため、安定化子量子力学と直接比較可能である。
• これらの断片におけるzx記法の完全性により、自動推論と等価性のテストが可能となり、Quantomaticなどのツールへの統合によって回路の簡略化やコンパイルに応用可能である。
• 補完性則（supplementarity rule）は、多キュービットのClifford+T作用素への完全性の拡張の候補とされているが、その十分性は未解決の問題のままである。