[論文レビュー] Completeness of the ZH-calculus

Miriam Backens, Aleks Kissinger+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2021

Logic, programming, and type systems被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Toffoli+Hadamardゲート集合に対応するZ[1/2]上の行列に関して、量子計算の図式的言語であるZHカルキュラスの完全性を確立する。ブール関数の恒等式から導かれた最小限の書き換え規則のセットを導入し、正規形還元を用いてその完全性を証明する。さらに、2が零因子でない任意の環へとカルキュラスを拡張し、普遍的量子計算の断片について完全かつ最小限の公理化を達成する。

ABSTRACT

There are various gate sets used for describing quantum computation. A particularly popular one consists of Clifford gates and arbitrary single-qubit phase gates. Computations in this gate set can be elegantly described by the ZX-calculus, a graphical language for a class of string diagrams describing linear maps between qubits. The ZX-calculus has proven useful in a variety of areas of quantum information, but is less suitable for reasoning about operations outside its natural gate set such as multi-linear Boolean operations like the Toffoli gate. In this paper we study the ZH-calculus, an alternative graphical language of string diagrams that does allow straightforward encoding of Toffoli gates and other more complicated Boolean logic circuits. We find a set of simple rewrite rules for this calculus and show it is complete with respect to matrices over $\mathbb{Z}[\frac12]$, which correspond to the approximately universal Toffoli+Hadamard gateset. Furthermore, we construct an extended version of the ZH-calculus that is complete with respect to matrices over any ring $R$ where $1+1$ is not a zero-divisor.

研究の動機と目的

• Clifford+位相ゲート集合を超える量子回路の推論のための完全な図式的カルキュラスの開発、特にTofolliのようなマルチ制御ゲートを含むもの。
• 元のZXカルキュラスが不十分にサポートするTofolliゲートのようなより複雑なブール論理操作を扱えるように、ZXカルキュラスの枠組みを拡張すること。
• Tofolli+Hadamardゲート集合に対応するZ[1/2]上の行列に関して、最小限で直感的な書き換え規則のセットを用いてZHカルキュラスの完全性を確立すること。
• 2が零因子でない任意の環Rに対してカルキュラスを一般化し、量子計算に関連するより広範な代数的構造において完全性を保証すること。
• 特定の規則の冗長性を示し、より単純で直感的な規則セットを提案することで、公理化の簡素化と最適化を図ること。

提案手法

• Hボックス（一般化されたアダマールボックス）とZスパイダーを生成子として用い、Z[1/2]上での行列解釈を伴うZHカルキュラスを導入する。
• ブール関数理論の恒等式に由来する、乗算、導入、平均化、その他の書き換え規則のセットを定義する。
• 条件付き還元規則を用いたZH図式の正規形の構築を発展させ、図式の体系的簡略化と比較を可能にする。
• 同じ行列を表す任意の2つの図式が、書き換え規則を用いて同一の正規形に変換可能であることを示すことにより、完全性を証明する。
• 1+1が零因子でない任意の環Rに対してカルキュラスを拡張する際、1/2 ∉ R の場合にスカラー係数をキャンセルするためのメタ規則を導入する。
• !-ボックス表記および注釈付き!-ボックスを用いて図式の族を表現し、無限個の回路の族に関する性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tofolli+Hadamardゲート集合に対して、最小限で直感的な書き換え規則のセットを用いてZHカルキュラスを完全にできるか？
• RQ2 ZHカルキュラスの標準的な書き換え規則（例：(hh)）は必要不可欠であるか、それともより単純な規則から導出可能であるか？
• RQ3 2が零因子でない任意の環Rに対してZHカルキュラスを拡張し、完全性を達成できるか。その場合、どのような変更が必要か？
• RQ4 すべての規則が完全性に不可欠であるという意味で、カルキュラスは最小限であるか。それとも一部の規則は削除可能またはより単純な規則に置き換え可能か？
• RQ5 生成子を再解釈することで、C上のユニタリ行列を表現できるようにカルキュラスを適応可能か。この再解釈は完全性を保持するか？

主な発見

• Tofolli+Hadamardゲート集合に対応するZ[1/2]上の行列に関して、ZHカルキュラスは、小さな直感的な書き換え規則のセットを用いて完全である。
• (hh)規則は完全性に不要であることが示され、他の規則から導出可能であるため、公理化が簡素化される。
• (o)規則は、2つのより単純で直感的な規則に置き換え可能であり、カルキュラスの明確さと理解のしやすさが向上する。
• 1+1が零因子でない任意の環Rに対して、1/2 ∉ R の場合にスカラー係数をキャンセルするためのメタ規則を導入することで、カルキュラスを拡張可能である。
• 正規形の構築により、任意の図式が一意な標準形に還元可能であり、図式の等価性を決定する手続きが可能になる。
• Hボックス生成子を1/2の代わりに1/√2として再解釈しても、カルキュラスは完全性を保ち、(1/√2)^n A（A ∈ Z^n×n）の形の行列を表現可能である。