[論文レビュー] Completeness of the ZX-calculus

Quanlong Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、ZWカルキュラスの完全性結果を翻訳することで、全量子ビット量子力学のためのZXカルキュラスの最初の完全な公理的体系を提示している。Clifford+T量子力学の普遍的完全性を確立し、9つの規則のみを用いて2量子ビットのClifford+T回路の完全性を証明している。さらに、三量子状態安定化量子力学への完全性の拡張を図り、複数の量子系にわたる図式的推論と厳密なルールに基づく等価性検証を可能にした。

ABSTRACT

The ZX-calculus is an intuitive but also mathematically strict graphical language for quantum computing, which is especially powerful for the framework of quantum circuits. Completeness of the ZX-calculus means any equality of matrices with size powers of $n$ can be derived purely diagrammatically. In this thesis, we give the first complete axiomatisation the ZX-calculus for the overall pure qubit quantum mechanics, via a translation from the completeness result of another graphical language for quantum computing -- the ZW-calculus. This paves the way for automated pictorial quantum computing, with the aid of some software like Quantomatic. Based on this universal completeness, we directly obtain a complete axiomatisation of the ZX-calculus for the Clifford+T quantum mechanics, which is approximatively universal for quantum computing, by restricting the ring of complex numbers to its subring corresponding to the Clifford+T fragment resting on the completeness theorem of the ZW-calculus for arbitrary commutative ring. Furthermore, we prove the completeness of the ZX-calculus (with just 9 rules) for 2-qubit Clifford+T circuits by verifying the complete set of 17 circuit relations in diagrammatic rewriting. In addition to completeness results within the qubit related formalism, we extend the completeness of the ZX-calculus for qubit stabilizer quantum mechanics to the qutrit stabilizer system. Finally, we show with some examples the application of the ZX-calculus to the proof of generalised supplementarity, the representation of entanglement classification and Toffoli gate, as well as equivalence-checking for the UMA gate.

研究の動機と目的

• 普遍的な純粋な量子ビット量子力学のための完全で図式的公理的体系を確立すること。
• ZWカルキュラスからの翻訳により、量子力学のClifford+T断片の完全性を導出すること。
• 9つの規則のみを用いて2量子ビットのClifford+T回路のZXカルキュラスの完全性を証明すること。
• 完全性結果を三量子状態安定化量子力学の枠組みに拡張すること。
• ZXカルキュラスの実用的応用、特にもつれ分類、一般化補完性、ゲート等価性の証明を示すこと。

提案手法

• 以前に任意の可換環に対して確立されたZWカルキュラスの完全性結果を、ZXカルキュラスの枠組みに翻訳すること。
• 複素数の環をClifford+T断片に対応する部分環に制限することで、完全な公理的体系を導出すること。
• 2量子ビットのClifford+T回路の完全性を証明するために、ZXカルキュラス内で17の基本的回路関係を図式的に検証すること。
• 一般化グラフ状態とLC型変換を用いて、三量子状態安定化状態の図式的形式的体系を導入すること。
• 簡略化されたGS-LC（一般化安定化LC）表現と書き換え規則を用いて、安定化図式の正規形を構築すること。
• 普遍的完全性結果を応用し、Quantomaticなどのツールにおける自動等価性検証と回路最適化を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZXカルキュラスは普遍的な純粋な量子ビット量子力学に対して完全に成立するか。もしそうならば、他の図式的カルキュラスからの翻訳によってどのように達成できるか。
• RQ2 ZXカルキュラスはClifford+T量子力学断片に対して完全であるか。また、ZWカルキュラスにおける完全性結果からこれを導出可能か。
• RQ3 ZXカルキュラスは9つの規則のみを用いて2量子ビットのClifford+T回路の完全性を達成できるか。この結果はn量子ビット回路へも拡張可能か。
• RQ4 ZXカルキュラスの完全性は、特に三量子状態安定化量子力学のようなクイッド系へ拡張可能か。
• RQ5 完全なZXカルキュラスの実用的応用は、量子回路の等価性証明やもつれの分類にどのように寄与するか。

主な発見

• ZWカルキュラスからの翻訳により、全量子ビット量子力学のためのZXカルキュラスの普遍的完全性が証明され、この分野における最初の完全な図式的カルキュラスが確立された。
• ZWカルキュラスの完全性結果を複素数の関連部分環に制限することで、Clifford+T量子力学のための完全で最小限の公理的体系が導出された。
• 9つの規則のみを用いて、2量子ビットのClifford+T回路のZXカルキュラスの完全性が示され、17の基本的回路関係がすべて図式的に検証された。
• 完全性結果は、より大きな局所的クラッカー群（量子ビットの24対に対して三量子状態では216要素）を持つ三量子状態安定化量子力学へ拡張され、非自明な一般化を示した。
• 本フレームワークにより、一般化補完性の証明、もつれの分類、Toffoliゲートの構築、UMAゲートの等価性検証といった実用的応用が可能になった。
• これらの結果は、自動化された量子回路最適化とQuantomaticなどのツールへの統合の基盤を築いた。今後、クイッド系や無限次元量子力学への拡張が可能である。