[論文レビュー] Completeness results for many-valued \Lukasiewicz modal systems and relational semantics

Georges Hansoul, Bruno Teheux|ArXiv.org|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Logic被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、多値 Łukasiewicz 代数的論理の族を導入し、正規モデルの構成を用いた完全性結果を確立する。有限値論理と、新しい無限大推論規則を用いた無限大拡張について、完全性を証明する。フレーム定義可能性解析を通じて、Kripke完全性と n+1-フレーム完全性の違いを明確に示す。

ABSTRACT

The paper is dedicated to the problem of adding a modality to the \Lukasiewicz many-valued logics in the purpose of obtaining completeness results for Kripke semantics. We define a class of modal many-valued logics and their corresponding Kripke models and modal many-valued algebras. Completeness results are considered through the construction of a canonical model. Completeness is obtained for modal finitely-valued logics but also for a modal many-valued system with an infinitary deduction rule. We introduce two classes of frames for the finitely-valued logics and show that they define two distinct classes of Kripke-complete logics.

研究の動機と目的

• Kripke意味論のもとで、Łukasiewicz 多値論理にモダリティ演算子を拡張し、完全性を達成すること。
• モダリティを伴う多値 Kripke モデルと、それに対応する代数的構造（MMV代数）を定義し、妥当かつ完全な意味論を構築すること。
• 特に有限値および無限大系に対して完全性を証明するため、モダリティを伴う多値論理の正規モデルを構成すること。
• Kripke完全性と n+1-フレーム完全性の違いを、n+1-フレームを新たな構造クラスとして導入することで明確にすること。
• モダリティ論理式とフレームおよび n+1-フレーム上の1階論理的性質との対応関係を調査し、意味論的相違を強調すること。

提案手法

• 世界の集合 W、アクセス関係 R、および命題変数を [0,1] または有限集合 L_n に割り当てる Val を持つ三元組 ⟨W, R, Val⟩ として、多値 Kripke モデルを定義する。
• Łukasiewicz 論理の演算を用いた標準的解釈を持つ、結合子 ⊕, ¬, □ を備えたモダリティ Łukasiewicz 論理を導入する。
• 論理の公式のLindenbaum-Tarski代数をモジュロにとり、最大一貫集合による真理値割り当てを用いて正規モデルを構成する。
• 正規モデルの価値割り当てがすべての公式へ拡張可能であることを証明する（命題 5.5）。これにより完全性証明が可能になる。
• フレームからバリエーションを制限することで得られる、n+1-フレームを第一階構造として導入し、n+1-Kripke完全性の分析を可能にする。
• すべての n≥2 に対して {φ⊕φ^n} から φ を導出する無限大推論規則 (Inf) を導入し、無限大系における完全性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規モデルを用いて、Kripke意味論のもとで Łukasiewicz 多値論理のモダリティ拡張が完全性を達成できるか。
• RQ2 無限大推論規則 (Inf) は、モダリティを伴う多値論理の完全性を達成するために果たす役割は何か。
• RQ3 Kripke完全性と n+1-Kripke完全性の違いは何か。また、この違いを引き起こすフレームの構造的特徴は何か。
• RQ4 正規モデルの構成は、有限値モダリティ Łukasiewicz 論理の公理系を簡略化できるか。
• RQ5 モダリティ論理式とフレームおよび n+1-フレーム上の1階論理的性質との対応関係は何か。

主な発見

• 正規モデルの構成を用いて、有限値モダリティ Łukasiewicz 論理の完全性が確立された。
• 無限大推論規則 (Inf) を備えた無限大モダリティ多値系は完全性を達成する：Γ ⊢∞ φ ならば、φ は Γ のすべてのモデルで真である。
• 正規モデルの価値割り当てがすべての公式へ自然に拡張可能である。これは重要な技術的結果である（命題 5.5）。
• 論理 L₂ は Kripke完全でない。これは、Kripke完全性と n+1-Kripke完全性の間に明確な違いがあることを示している。
• n+1-フレームは、Kripke完全論理の別クラスを定義する新たな構造クラスとして導入され、フレーム定義可能性が価値割り当ての制限に依存することを示している。
• 本稿では、一般の場合において無限大規則 (Inf) が完全性を達成するために不可欠であることが特定された。なぜなら、⊢∞ φ と ⊢K φ が同値であるかどうかは未だ不明である。