[論文レビュー] Completeness Theorems for Pomset Languages and Concurrent Kleene Algebras

Michael R. Laurence, Georg Struth|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、双キーレーン演算子（0, 1, +, ·, ∗, ∥, (∗)）を用いたpomset言語におけるすべての妥当な普遍的等式が、正規言語および可換正規言語の等式理論から導かれるという完全性定理を確立することで、pomset言語および並列キーレーン代数の完全性定理を構築する。さらに、有理的pomset言語のクラスがブール演算に関して閉じていることを示し、並列反復を除くbw-有理的項に対しては、生成される理想言語がbw-有理的項によって表現可能であり、その等式はキーレーン公理および交換法則を用いて証明可能であることを示している。

ABSTRACT

Pomsets constitute one of the most basic models of concurrency. A pomset is a generalisation of a word over an alphabet in that letters may be partially ordered. A term $t$ using the bi-Kleene operations $0,1, +, \cdot\, ,^*, \parallel, ^{(*)}$ defines a language $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $ of pomsets in a natural way. We prove that every valid universal equality over pomset languages using these operations is a consequence of the equational theory of regular languages (in which parallel multiplication and iteration are undefined) plus that of the commutative-regular languages (in which sequential multiplication and iteration are undefined). We also show that the class of $ extit{rational}$ pomset languages (that is, those languages generated from singleton pomsets using the bi-Kleene operations) is closed under all Boolean operations. An $ extit{ideal}$ of a pomset $p$ is a pomset using the letters of $p$, but having an ordering at least as strict as $p$. A bi-Kleene term $t$ thus defines the set $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) $ of ideals of pomsets in $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $. We prove that if $t$ does not contain commutative iteration $^{(*)}$ (in our terminology, $t$ is bw-rational) then $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) \cap extbf{Pom}_{sp}$, where $ extbf{Pom}_{sp}$ is the set of pomsets generated from singleton pomsets using sequential and parallel multiplication ($ \cdot$ and $ \parallel$) is defined by a bw-rational term, and if two such terms $t,t'$ define the same ideal language, then $t'=t$ is provable from the Kleene axioms for $0,1, +, \cdot\, ,^*$ plus the commutative idempotent semiring axioms for $0,1, +, \parallel$ plus the exchange law $ (u \parallel v)\cdot ( x \parallel y) \le v \cdot y \parallel u \cdot x $.

研究の動機と目的

• 双キーレーン演算子におけるpomset言語の完全性定理を確立すること。
• pomset言語の等式理論が、正規言語および可換正規言語の等式理論の組み合わせによって完全に記述されることを示すこと。
• 有理的pomset言語のクラスがすべてのブール演算に関して閉じていることを証明すること。
• pomset理想の構造およびそれらのbw-有理的項による表現を調査すること。
• bw-有理的項の等式が、交換法則およびキーレーン公理の下で証明可能であることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、pomsetsを有限でラベル付けされた部分順序集合として定義し、単語および可換単語を一般化する。
• 双キーレーン代数を、逐次的および並列的演算子を備えた代数として定義し、逐次的および並列的反復を含む。
• 任意の双キーレーン項 t, t′ に対して、言語差 [[t]] − [[t′]] が有理的であることを証明し、構造的帰納法および項書き換えを用いて項の等式が決定可能であることを示す。
• Petriネットにおける到達可能性をモデル化するために理想言語（Id(L)）を用い、Id([[t]]) ∩ Pomsp がbw-有理的項によって表現可能であることを示す。
• 合同関係および正規項表現を用いて、複雑なpomset項を等価なbw-有理的形に簡約する。
• キーレーン公理および交換法則から導かれる証明可能性が、pomset理想における等式を意味することを示すことにより、完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双キーレーン演算子を用いたpomset言語におけるすべての妥当な普遍的等式が、正規言語および可換正規言語の等式理論から導けるか。
• RQ2 有理的pomset言語のクラスはすべてのブール演算に関して閉じているか。
• RQ3 bw-有理的項 t に対して、理想言語 Id([[t]]) ∩ Pomsp はbw-有理的項によって表現可能か。
• RQ4 Id([[t]]) = Id([[t′]]) が成り立つ場合、二つのbw-有理的項 t と t′ の等式は、キーレーン公理および交換法則から証明可能か。
• RQ5 交換法則を満たすbw-有理的代数のクラスにおいて、アルファベット上の単一pomsetから生成されるpomset理想の代数は、自由に生成されるか。

主な発見

• 任意の双キーレーン項 t, t′ に対して、言語 [[t]] − [[t′]] は有理的であり、等式 [[t]] = [[t′]] は決定可能である。
• [[t]] = [[t′]] が成立する場合、任意の双キーレーン代数において t = t′ は証明可能である。これにより、pomset言語代数の自由性が確立される。
• 有理的pomset言語のクラスは、補集合を含むすべてのブール演算に関して閉じている。
• 並列反復を除くbw-有理的項に対しては、言語 Id([[t]]) ∩ Pomsp がbw-有理的項によって表現可能である。
• Id([[t]]) = Id([[t′]]) が成り立つ場合、bw-有理的項 t と t′ の等式は、キーレーン公理および交換法則から証明可能である。
• 単一pomsetから生成されるpomset理想の代数は、交換法則を満たす自由なbw-有理的代数である。