[論文レビュー] Completeness with respect to the probabilistic Pompeiu-Hausdorff metric

Ştefan Cobzaş|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率的距離空間における確率的ポンペイウ＝ハウスドルフ距離の下で、閉集合、有界集合、コンパクト集合、および凸集合の族の完備性を確立する。確率的距離空間 $L$ が完備であるならば、$L$ のすべての空でない閉集合、閉有界集合、コンパクト集合、および追加の条件下で空でない閉凸集合の族も、確率的ハウスドルフ距離 $H$ の下で完備であることを証明する。この結果は、古典的な距離空間における完備性の結果を確率的設定に拡張するものである。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to prove that the family of all closed nonempty subsets of a complete probabilistic metric space $L$ is complete with respect to the probabilistic Pompeiu-Hausdorff metric $H$. The same is true for the families of all closed bounded, respectively compact, nonempty subsets of $L$. If $L$ is a complete random normed space in the sense of Šerstnev, then the family of all nonempty closed convex subsets of $L$ is also complete with respect to $H$.

研究の動機と目的

• 完全な距離空間におけるポンペイウ＝ハウスドルフ距離の古典的完備性結果を、確率的設定に拡張すること。
• 完全な確率的距離空間の空でない閉集合、有界集合、またはコンパクト集合の族が、確率的ポンペイウ＝ハウスドルフ距離の下でも完備であるかどうかを調査すること。
• シュェルシュネフの意味での完全な確率的ノルム空間における閉凸集合の族の完備性を検討すること。
• メンガーの確率的距離空間に関する先行研究を、より広範なクラスの確率的距離空間へ一般化すること。
• 集合値族の完備性を保証することにより、確率的距離空間における不動点理論および不変集合理論の基盤を提供すること。

提案手法

• 確率的距離空間 $L$ の空でない閉集合の族に、エーベルトとタルディフの研究に基づいて確率的ポンペイウ＝ハウスドルフ距離 $H$ が定義される。
• 分布関数の空間 $\Delta$ 上にライニー距離 $d_L$ を用いて、確率的設定における収束および位相を定義する。
• ヘリーの第一定理を適用して、$\Delta$ 内の任意の列が弱収束する部分列を持つことを保証し、基礎となる空間の完備性を支援する。
• 集合論的構成に基づく証明：閉集合のコーシー列の極限が、集合の交わりと和集合の閉包を用いて自身も閉であることを示す。
• 凸集合の場合は、$\epsilon$-近傍 $(A_m)_\epsilon$ における凸性の保存性と、可算個の凸集合の共通部分が凸であるという事実を用いる。
• 空間 $L$ が、特定の不等式条件を満たす上界連続な三角関数を備えた完全なシュェルシュネフの確率的ノルム空間であると仮定すると、空でない閉凸集合の族 $P_{fc}(L)$ の完備性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な確率的距離空間 $L$ のすべての空でない閉集合の族は、確率的ポンペイウ＝ハウスドルフ距離の下で完備であるか？
• RQ2 完全な確率的距離空間 $L$ のすべての空でない閉有界集合およびコンパクト集合の族も、同じ距離の下で完備であるか？
• RQ3 完全なシュェルシュネフの確率的ノルム空間において、閉凸集合の族の完備性は確率的ハウスドルフ距離の下で成立するか？
• RQ4 三角関数にどのような条件を課すと、閉凸集合の族が完備になるか？
• RQ5 古典的なポンペイウ＝ハウスドルフ完備性結果の確率的類似が、メンガー空間を超えて拡張可能か？

主な発見

• 完全な確率的距離空間 $L$ のすべての空でない閉集合の族は、確率的ポンペイウ＝ハウスドルフ距離 $H$ の下で完備である。
• 完全な確率的距離空間 $L$ のすべての空でない閉有界集合およびコンパクト集合の族も、$H$ の下で完備である。
• $L$ が完全なシュェルシュネフの確率的ノルム空間であるならば、$L$ のすべての空でない閉凸集合の族は、$H$ の下で完備である。
• 完全なシュェルシュネフの確率的ノルム空間におけるすべての空でないコンパクト凸集合の族は、$H$ の下で完備である。
• $P_{fc}(L)$ の完備性は、各 $A_m$ が凸であるとき、極限集合 $A = \bigcap_{\epsilon>0}\bigcup_{n\geq1}\bigcap_{m\geq n}(A_m)_\epsilon$ が凸かつ閉であるという事実に起因する。
• 証明は、$\epsilon$-近傍における凸性の保存性と、確率的ハウスドルフ距離における列の収束に依存する。