[論文レビュー] Completions of mapping class groups and the cycle $C - C^-$

Richard Hain|ArXiv.org|Jul 23, 1992

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、$ g \geq 3 $ に対して、トーリー群のユニポテンツ完成が、写像類群の相対的完成のプルユニポテンツ根基へ全射であることを確立し、$ g \geq 8 $ のとき核は $ \mathbb{Q} $ に同型である。この結果は、3乗の種数の曲線のヤコビアンにおけるサイクル $ C - C^{-} $ のアーチメデス的高さペアリングのホッジ論的考察を通じて得られ、算術的トポロジーとモジュライ空間の幾何学を結びつける。

ABSTRACT

In this paper we study the proalgebraic completion of mapping class relative to their maps to the symplectic group. The main result is that the natural map from the unipotent (a.k.a. Malcev) completion of the Torelli group to the prounipotent radical of the Sp_g completion of the mapping class group is a non trivial central extension with kernel isomorphic to Q, at least when g \ge 8. The theorem is proved by relating the central extension to the line bundle associated to the archemidean height of the cycle C - C- in the Jacobian of the curve C. We also develop some of the basic theory of relative completions.

研究の動機と目的

• 写像類群の相対的マルツェフ完成を用いて、トーリー群のユニポテンツ完成の構造を理解すること。
• トーリー群のコhomological性質を、曲線のモジュライ空間の幾何学と関連付けること。
• ホッジ論的不変量を用いて、トーリー群のユニポテンツ完成における非自明な中心拡大を確立すること。
• 写像類群の相対的完成と、3乗の種数のヤコビアンにおける代数的サイクル $ C - C^{-} $ のアーチメデス的高さを結びつけること。

提案手法

• 写像類群 $ \Gamma_{g,r}^n $ のシンプレクティック表現 $ \rho: \Gamma_{g,r}^n \to \mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}) $ に関する相対的完成を構成し、$ \mathrm{Sp}_g $ を拡大するプロ代数的群 $ \mathcal{G}_{g,r}^n $ を得る。この群は、プルユニポテンツ群 $ \mathcal{U}_{g,r}^n $ を介して $ \mathrm{Sp}_g $ に拡大する。
• トーリー群 $ T_{g,r}^n $ から $ \mathcal{U}_{g,r}^n $ への誘導された準同型を調べ、そのユニポテンツ完成 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ を分析する。
• ホッジ論的技法を用いて、中心拡大 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ を、3乗の種数の曲線のヤコビアンにおけるサイクル $ C - C^{-} $ のアーチメデス的高さと関連付ける。
• 高さペアリングに関連するラインバンドル $ \mathcal{L} $ 及びそのモジュライ空間 $ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ への引き戻しを分析し、その次数およびチエーン類を計算する。
• ラインバンドル $ \delta^*\mathcal{L} $ の押し出しを用いて、$ \pi_* (2\mathcal{H}_\Delta - 4\mathcal{H}_0) = 28 \cdot 35 \, \mathcal{H} $ を計算する。ここで $ \mathcal{H} $ はハイパーオービックな領域を表す。
• チエーン類 $ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $ を計算することで、$ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 内の拡大類が非ゼロであることを示し、これは $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 内で非消滅する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニポテンツ完成が相対的完成の商としてどのように構造化されるか？
• RQ2 3乗の種数の曲線のヤコビアンにおけるサイクル $ C - C^{-} $ のアーチメデス的高さペアリングは、トーリー群のコhomological不変量とどのように関係するか？
• RQ3 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ の自然な写像の核は何か？ また、それが $ \mathbb{Q} $ に同型となるのはいつか？
• RQ4 モジュライ空間上のラインバンドルを用いて、トーリー群のユニポテンツ完成における非自明な中心拡大を検出できるか？
• RQ5 核 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ が $ \mathbb{Q} $ に同型となる最小の種数 $ g $ は何か？ また、これは $ H^2(\mathrm{Sp}_g(\mathbb{Z}), A) $ 内のコhomological消失とどのように関係するか？

主な発見

• $ g \geq 3 $ に対して、自然な準同型 $ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ は全射であり、その核は $ \mathcal{T}_{g,r}^n $ の中心に含まれる。
• $ g \geq 8 $ のとき、$ \mathcal{T}_{g,r}^n \to \mathcal{U}_{g,r}^n $ の核は $ \mathbb{Q} $ に同型であり、非自明な中心拡大を構成する。
• この中心拡大は、3乗の種数の曲線のヤコビアンにおけるサイクル $ C - C^{-} $ のアーチメデス的高さペアリングに由来する。
• $ \mathcal{L} \otimes N^{\otimes (-9 \cdot 28 \cdot 35)} $ は、$ \mathcal{M}_3(l, \alpha, \delta) $ 上で自明なラインバンドルに引き戻されるため、$ \mathbb{C}^* $-バンドルの上昇が存在する。
• $ H^2(L(l); \mathbb{Q}) $ 内の拡大類は非ゼロであり、$ -9 \cdot 28 \cdot 35 \, c_1(N) $ によって表され、これは $ H^2(\mathcal{A}_3(l); \mathbb{Q}) $ 内で非消滅する。
• $ H_1(T_3(\alpha, \delta); \mathbb{Q}) \to H_1(G_\mathbb{Z}; \mathbb{Q}) $ の像は $ V(\lambda_3) $ の対角コピーであり、極化に関する括弧の評価は $ \mathbb{Q} \to \Lambda^2 H_1(T_3; \mathbb{Q}) \to \mathbb{Q} $ の同型を定める。