[論文レビュー] Complex analysis and a class of Weingarten surfaces

Robert L. Bryant|arXiv (Cornell University)|May 27, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、定常平均曲率球面のホフの複素解析的手法を、$ H = f(H^2 - K) $ を満たすより広いクラスのウェイングルテン表面へ一般化する。第一基本形式とは異なる、新しいコンフォーマル構造を導入している。主な結果として、$ \mathbb{E}^3 $ への $ S^2 $ の滑らかな埋め込みがこのウェイングルテン関係を満たすならば、それは必ず球面であることが示され、偏微分方程式の道具立てを軽減した、正則微分形式に基づく簡素化されたアプローチにより、ホフの定理およびリーマンの定理を拡張する。

ABSTRACT

An idea of Hopf's for applying complex analysis to the study of constant mean curvature spheres is generalized to cover a wider class of spheres, namely, those satisfying a Weingarten relation of a certain type, namely H = f(H^2-K) for some smooth function f, where H and K are the mean and Gauss curvatures, respectively. The results are either not new or are minor extensions of known results, but the method, which involves introducing a different conformal structure on the surface than the one induced by the first fundamental form, is different from the one used by Hopf and requires less technical results from the theory of PDE than Hopf's methods. This is a TeXed version of a manuscript dating from early 1984. It was never submitted for publication, though it circulated to some people and has been referred to from time to time in published articles. It is being provided now for the convenience of those who have asked for a copy. Except for the correction of various grammatical or typographical mistakes and infelicities and the addition of some (clearly marked) comments at the end of the introduction, the text is that of the original.

研究の動機と目的

• 定常平均曲率球面に対するホフの複素解析的アプローチを、$ H = f(H^2 - K) $ で定義されるより広いクラスの表面へ拡張すること。
• 第一基本形式によって誘導されるものとは異なるコンフォーマル構造を導入することにより、重い偏微分方程式の道具立てを避ける方法を開発すること。
• 滑らかな関数 $ f $ に対して $ H = f(H^2 - K) $ を満たす $ S^2 $ の滑らかな埋め込みが、必ず球面であることを証明することにより、ホフの定理およびリーマンの定理を一般化すること。
• 定曲率 $ R $ の空間形式における表面へ結果を拡張し、$ S^2 $ や $ \mathbb{R}P^2 $ に対して $ H = f(H^2 - K + R) $ が成り立つならば、全びりんぐ的であることを示すこと。

提案手法

• 第二基本形から導かれるコンフォーマル構造を用いた正則な二次微分形式を導入する。第一基本形とは異なる。
• 構造方程式を複素数記法で表すために、複素変数 $ \omega $, $ \pi = z\omega + H\bar{\omega} $, および $ \rho $ を定義する。
• 空間形式では、構造方程式 $ d\omega = -i\rho \wedge \omega $, $ d\pi = i\rho \wedge \pi $, および $ d\rho = \frac{i}{2}(\pi \wedge \bar{\pi} - R\omega \wedge \bar{\omega}) $ を用いる。
• びりんぐ点近傍におけるウェイングルテン方程式の線形化を分析し、演算子の構造のおかげで、双曲的領域でさえも楕円型であることを示す。
• 正則微分形式のリーマン面論を適用し、びりんぐ点におけるインデックスが非正であることを証明することで、孤立性または全びりんぐ的性質を導く。
• ガウス方程式が核心的議論で不要であることに着目し、空間形式への一般化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホフの複素解析的手法は、定常平均曲率を越えて、より広いクラスのウェイングルテン表面へ一般化可能か？
• RQ2 標準的でないコンフォーマル構造を用いることで、従来の偏微分方程式に基づく手法に比べて解析が簡素化されるか？
• RQ3 ウェイングルテン関係 $ H = f(H^2 - K) $ にどのような条件を課すと、球面が必ず球面であることが保証されるか？
• RQ4 双曲的領域では線形化された演算子が楕円型ではないにもかかわらず、正則微分形式の挙動はどのように変化するか？
• RQ5 結果は定曲率 $ R $ の空間形式における表面へ拡張可能か？その設定ではウェイングルテン関係はどのような形をとるか？

主な発見

• 滑らかな関数 $ f $ に対して、$ \mathbf{x}: S^2 \to \mathbb{E}^3 $ が $ H = f(H^2 - K) $ を満たすならば、それは必ず球面である。
• この方法は、第二基本形から導かれるコンフォーマル構造上の正則微分形式を用いることで、深い偏微分方程式の結果を避けている。
• ウェイングルテン方程式の線形化はびりんぐ点近傍で楕円型であり、驚くべきことに、$ A > 1 $ の双曲的領域でも依然としてそうである。
• 定曲率 $ R $ の空間形式では、$ H = f(H^2 - K + R) $ が成り立つならば、$ M = S^2 $ または $ \mathbb{R}P^2 $ に対して $ \mathbf{x} $ は全びりんぐ的である。
• 各びりんぐ点は孤立しており、かつ全びりんぐ的でない限り、厳密に負のインデックスを持つ。$ S^2 $ や $ \mathbb{R}P^2 $ に対しては、全びりんぐ的であることが唯一の可能性である。
• この結果は、ホフの定理（定常平均曲率 ⇒ 球面）およびリーマンの定理（定常ガウス曲率 ⇒ 球面）を統一的に一般化し、一つの枠組みで統合する。