[論文レビュー] Complex behaviour in cyclic competition bimatrix games

Cezary Olszowiec|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Game Theory and Applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完璧な記憶を有するグー・チョキ・パー（Rock-Scissors-Paper）ゲームとしての循環的競合の双行列ゲームを、厳密な力学系解析を用いて再検討し、先行研究における混沌としたスイッチングと安定性に関する誤った主張を是正する。一般条件下ではホモクライニックネットワーク付近での無限スイッチングが不可能であることを示し、異なる力学的挙動を示す4つの明確に区別できるパラメータ領域を特定し、サイクルの安定性が単に $\epsilon_X + \epsilon_Y$ の符号に依存するのではなく、パラメータ値に強く依存することを示している。また、スーパーホモクライニック軌道を通じて混沌とした挙動が生じ得ることを明らかにした。

ABSTRACT

We consider an example of cyclic competition bimatrix game which is a Rock-Scissors-Paper game with assumption about perfect memory of the playing agents. At first we investigate the dynamics in the neighbourhood of the Nash equilibrium as well as the dynamics on the boundary of codimension 1 - that is when one of the strategies is not played by any agent. For the analysis of the asymptotic behaviour close to the boundary of state space, we provide the description of a naturally appearing heteroclinic network. Due to the symmetry, the heteroclinic network induces a quotient network. This quotient network is investigated as well. In the literature this model was already studied, but unfortunately the results stated there are invalid, as we will show in this paper. It turns out that certain types of behaviour are never possible or appear in the system only for some parameter values, contradicting what was stated before in the literature. Moreover, the parameter space (-1,1)x(-1,1) is divided into four regions where we observe either irregular behaviour, or preference to follow an itinerary consisting of strategies for which one or the other agent does not lose, or they alternate in winning. These regions in parameter space are separated by two analytical curves and lines where the game is either symmetric (system is not $C^1$ linearisable at stationary saddle points) or is zero-sum and the system is Hamiltonian. On each of these curves we observe different bifurcation scenarios: e.g. transition from order to chaos, or from one kind of stability to another kind, or just loss of one dimension of the local stable manifold of the subcycle.

研究の動機と目的

• 循環的競合の双行列ゲームに関する先行分析における重大な誤りを是正すること、特に混沌としたスイッチングとサイクルの安定性に関して。
• 完璧な記憶を有するグー・チョキ・パー（Rock-Scissors-Paper）ゲームの厳密な力学系解析を提供し、ホモクライニックネットワークと遷移写像に焦点を当てる。
• 文献における数値結果とホモクライニックネットワーク付近での解析的挙動との不一致を解消すること。
• 特に有限のイテラリ（巡回経路）の到達可能性と安定性の動的挙動がパラメータ $\epsilon_X$ と $\epsilon_Y$ にどのように依存するかを明確にすること。
• 混沌とした挙動が生じる条件、特にサイクルの安定・不安定多様体の横断的交差がもたらすメカニズムを同定すること。

提案手法

• ゲームの対称性に起因する完全なホモクライニックネットワークを構築し、均衡点間のすべての遷移写像を含む。
• 局所座標系における遷移写像の線形部を計算し、先行研究が仮定したように単位写像でないことを証明する。
• スケーリングと局所写像と遷移写像の合成を用いて、過去の（誤りを含む）表現に類似した近似式を導出する。
• 系が対称的またはゼロサムである曲線に沿った分岐を解析し、安定性タイプの遷移と多様体次元の喪失を同定する。
• Satoらのシミュレーションと比較するための数値的検証を実施し、ホモクライニック接続およびスーパーホモクライニック軌道の存在を探索する。
• 特に $\beta$-曲線付近において、開いたパラメータ領域における混沌とした挙動のコンピュータ支援的証明のフレームワークを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜAguiar & Castro (2010)のホモクライニックネットワーク付近での無限スイッチングの主張が誤りであるのか。何がその発生を防ぐ条件か。
• RQ2 ホモクライニックネットワークにおける均衡点間の遷移写像は、先行研究が仮定した単位写像とはどのように異なるか。
• RQ3 パラメータ $\epsilon_X$ と $\epsilon_Y$ の関数として、サイクル $C_0$、$C_1$、$C_2$ の真の安定性挙動はいかなるものか。
• RQ4 ホモクライニックネットワーク付近で、ホモクライニック軌道に沿った有限イテラリが到達可能となるパラメータ条件は何か。
• RQ5 混沌としたダイナミクスを引き起こすメカニズムは何か。また、この系にスーパーホモクライニック軌道の存在の証拠はあるか。

主な発見

• 十分に小さな $h$ に対して、$tie \to win/loss \to loss/win \to tie$ 形式の有限イテラリは到達不可能であり、Aguiar & Castroの無限スイッチングの主張を裏付けるものではない。
• サイクル $C_0$ は $\epsilon_X + \epsilon_Y < 0$ のとき、本質的に漸近的安定である。これはAguiar & Castroの「相対的漸近的安定」という主張を是正するものである。
• パラメータ空間の一部の開集合では、サイクル $C_1$ と $C_2$ は「ほとんど完全に不安定」でも「本質的に漸近的安定」でもなく、初期条件の開集合を吸引する。
• パラメータ空間 $(-1,1)^2$ は、不規則な運動、非敗北イテラリの好転、勝利の交互発生という、異なる力学的挙動を示す4つの領域に分割される。
• サイクル $C_0$ と $C_2$ の安定・不安定多様体の横断的交差を通じて、混沌とした挙動が生じ得る。これはパラメータ空間に3次元の集合を形成する可能性がある。
• 数値的証拠は、白色領域とイエローエリアの間の分岐曲線付近で、$C_2$ および $C_0$ への前向き・後向きホモクライニック接続の存在を示唆しており、混沌としたスイッチングの可能性を支持する。