[論文レビュー] Complex Brunn-Minkowski theory and positivity of vector bundles

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$L^2$-ノルムが正則切断のファイバー上に非負の曲率を持つベクトルバンドルをなすという事実を示すことにより、複素解析的Brillouin-MinkowskiおよびPrékopaの定理の類似を確立する。これは、計量に半正の曲率条件が課されたとき、ホロモルフィック写像のファイバー上における正則切断の$L^2$-ノルムが、非負の曲率を持つベクトルバンドルをなすことを示す。主な結果は、正則バンドルの直接像シーヴが重みイデアルでねじれたものに、非負の曲率を持つ特異計量を備えることができ、弱正則性およびアーベル多様体に対するIitaka予想への応用が得られることである。

ABSTRACT

This is a survey of results on positivity of vector bundles, inspired by the Brunn-Minkowski and Prékopa theorems. Applications to complex analysis, Kähler geometry and algebraic geometry are also discussed.

研究の動機と目的

• 実凸幾何学におけるBrunn-MinkowskiおよびPrékopaの定理を、$\bar{\partial}$-作用素に対する$L^2$-推定を用いて複素幾何学へ拡張すること。
• 特異計量を備えた正則バンドルの直接像として定義されるベクトルバンドルおよび coherent シーヴの正則性を確立すること。
• Viehweg理論の文脈において、特に弱正則性のための解析的基準を提供すること。
• 曲率の正則性を応用して、基底がアーベル多様体である場合のIitaka予想を証明すること。

提案手法

• Hörmanderの$L^2$-推定を、$\bar{\partial}$-作用素に対して用い、Brascamp-Liebの不等式の複素幾何学的類似とみなす。
• ファイバー上での$|h|^2 e^{-\phi}$の積分を用いた、直接像シーヴへの$L^2$-計量の定義、ここで$\phi$は擬コンパクト関数である。
• codimension 2の集合上での擬コンパクト関数ノルムの拡張を用いた、coherent シーヴへの特異計量の導入。
• 曲率正則性基準の適用：任意の正則切断の対数ノルムが擬コンパクトであれば、その計量は非負の曲率を持つ。
• Grauertの正則性定理および擬コンパクト関数の拡張定理を用いて、シーヴ$\mathcal{E} = p_*(K_{X/Y} + L) \otimes \mathcal{I}(\phi)$への計量の定義。
• 擬コンパクト関数の拡張性質を用いて、直接像の$L^2$-計量が、coherent シーヴ$\mathcal{E}$上に非負曲率を持つ特異計量へ拡張されることの証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実凸幾何学におけるPrékopa–Brascamp–Liebの不等式は、$\bar{\partial}$-作用素に対する$L^2$-推定を用いて複素幾何学へ一般化可能か？
• RQ2 ファイブレーション上に特異計量を持つ正則バンドルの直接像が、非負曲率を持つ計量を備えるための条件は何か？
• RQ3 このような直接像シーヴの曲率正則性は、Viehweg理論における弱正則性という代数的概念とどのように関係するか？
• RQ4 このような直接像の解析的正則性を用いて、アーベル多様体上へのファイブレーションにおけるIitaka予想を証明可能か？

主な発見

• 直接像バンドル$E = p_*((K_{X/Y} + L) \otimes \mathcal{I}(\phi))$上の$L^2$-計量は、coherent シーヴ$\mathcal{E}$上に非負曲率を持つ特異計量へ拡張される。
• 非負曲率を持つ特異計量のおかげで、シーヴ$\mathcal{E}$はViehwegの意味で弱正則である。
• 曲率正則性の結果はPrékopaの定理を一般化する：計量が滑らかで重みイデアルが自明な場合、正則切断の$L^2$-ノルムは擬コンパクト関数を定め、実の場合と類似する。
• この手法はアーベル多様体上へのファイブレーションに適用可能であり、全空間と一般ファイバーのKodaira次元についての不等式$\kappa(X) \geq \kappa(F)$が得られる。
• 証明は、codimension 2以上の部分多様体上での擬コンパクト関数の拡張に依存しており、coherent シーヴ上の特異計量の曲率の定義を可能にする。
• この結果は、弱正則性のための一般な解析的枠組みを提供し、複素幾何学における解析的および代数的正則性概念を統合する。