[論文レビュー] Complex dynamical properties of coupled Van der Pol-Duffing oscillators with balanced loss and gain

Puspendu Roy, Pijush K. Ghosh|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、バランスロスとゲインを有する結合されたバン・デル・ポール＝ダフィング発振子系を検討し、再生群法（RG）および多重スケール解析（MSA）を用いて、解析的に解ける遅い流れ方程式を導出する。両方のハミルトニアンおよび非ハミルトニアン系が周期的およびカオス的ダイナミクスを示すことが示され、PT対称性を必要としないバランスロス・ゲインを有する系におけるハミルトニアン・カオスの存在が確立される。

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian system of coupled Van der Pol-Duffing(VdPD) oscillators with balanced loss and gain. The system is analyzed perturbatively by using Renormalization Group(RG) techniques as well as Multiple Scale Analysis(MSA). Both the methods produce identical results in the leading order of the perturbation. The RG flow equation is exactly solvable and the slow variation of amplitudes and phases in time can be computed analytically. The system is analyzed numerically and shown to admit periodic solutions in regions of parameter-space, confirming the results of the linear stability analysis and perturbation methods. The complex dynamical behavior of the system is studied in detail by using time-series, Poincar$\acute{e}$-sections, power-spectra, auto-correlation function and bifurcation diagrams. The Lyapunov exponents are computed numerically. The numerical analysis reveals chaotic behaviour in the system beyond a critical value of the parameter that couples the two VdPD oscillators through linear coupling, thereby providing yet another example of Hamiltonian chaos in a system with balanced loss and gain. Further, we modify the nonlinear terms of the model to make it a non-Hamiltonian system of coupled VdPD oscillators with balanced loss and gain. The non-Hamiltonian system is analyzed perturbativly as well as numerically and shown to posses regular periodic as well as chaotic solutions. It is seen that the ${\cal{PT}}$-symmetry is not an essential requirement for the existence of regular periodic solutions in both the Hamiltonian as well as non-Hamiltonian systems.

研究の動機と目的

• バランスロス・ゲインを有する結合されたバン・デル・ポール＝ダフィング発振子系における複雑なダイナミカル・ビヘイビアの研究。
• このような系において、PT対称性が規則的な周期的解の存在に不可欠であるかどうかの調査。
• バランスロス・ゲインを有するハミルトニアンおよび非ハミルトニアンモデルにおけるカオスの出現の分析。
• 解析的摂動法（RGおよびMSA）と数値シミュレーションの比較による検証。
• 非線形結合および線形結合強度がカオス的挙動を誘発する役割を探索。

提案手法

• 結合VdPD発振子系の摂動的解析に、再生群法（RG）および多重スケール解析（MSA）を適用。
• 遅い振幅および位相の進化を記述するRG流れ方程式の正確な解析的解を導出。
• 数値的シミュレーションを実施し、解析的結果の妥当性を検証するとともに、長期的ダイナミクスを探索。
• 時間領域波形、ポアンカレ断面、パワースペクトル、自己相関関数、分岐図を用いて、系の挙動を特徴づける。
• カオス性および初期条件への感受性を定量化するために、リャプノフ指数を数値的に計算。
• 非線形項を変更して、バランスロス・ゲインを有する非ハミルトニアン系を構築。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスロス・ゲインを有するハミルトニアン系が、PT対称性を必要とせずにカオス的ダイナミクスを示すことができるか？
• RQ2 このような系において、PT対称性は規則的な周期的解の存在に必須な条件か？
• RQ3 RGおよびMSA法は、結合VdPD発振子の遅いダイナミクスを予測する上で、どのように比較されるか？
• RQ4 線形結合強度は、カオスの発生を引き起こす上で果たす役割は何か？
• RQ5 非線形結合の導入は、規則的からカオス的挙動への遷移にどのように影響するか？

主な発見

• 結合VdPD発振子系のRG流れ方程式は、正確に解けるため、遅い振幅および位相の進化を解析的に計算可能である。
• 数値的シミュレーションにより、PT対称および非PT対称なパrameter領域の両方で周期的解が確認され、PT対称性が規則的ダイナミクスに必須でないことが示された。
• 線形結合パラメータの臨界値を超えると、正のリャプノフ指数および複雑なポアンカレ断面により、カオス的挙動が出現する。
• 外部駆動が存在しない状態でも、アンチ減衰発振子への結合が内部エネルギー源として機能し、ハミルトニアン・カオスが発現する。
• 非ハミルトニアン系（非線形項を変更）においても、規則的な周期的解およびカオス的解が両方共存在し、PT対称性を必要としないカオス的ダイナミクスの強靭性がさらに裏付けられた。
• 分岐図およびパワースペクトルにより、周期的運動からカオス的運動への遷移が明らかとなり、カオス領域では特徴的なスペクトル的特徴が観察された。