[論文レビュー] Complex fuzzy Lie Algebras

Shadi Shaqaqha|arXiv (Cornell University)|May 5, 2019

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ひとこと要約

本稿では、メンバーシップ関数が複素平面における単位円上をとる複素ファジィリー代数を導入する。メンバーシップ関数が複素平面の単位円上をとる複素ファジィ部分代数およびイデアルを定義し、リー代数の同型写像におけるその性質を確立し、全射的同型写像において複素ファジィ部分代数およびイデアルの像と逆像が保存されることを証明する。これにより、ファジィリー代数理論が複素ファジィ設定へと拡張される。

ABSTRACT

A complex fuzzy Lie algebra is a fuzzy Lie algebra whose membership function takes values in the unit circle in the complex plane. In this paper, we deine the complex fuzzy Lie subalgebras and complex fuzzy ideals of Lie algebras. Then, we investigate some of characteristics of complex fuzzy Lie subalgebras. The relationship between complex fuzzy Lie subalgebras and fuzzy Lie subalgebras is also investigated. Finally, we define the image and the inverse image of complex fuzzy Lie subalgebra under Lie algebra homomorphism. The properties of complex fuzzy Lie subalgebras and complex fuzzy ideals under homomorphisms of Lie algebras are studied.

研究の動機と目的

• 複素ファジィリー代数部分代数およびイデアルを定義することにより、ファジィリー代数理論を複素ファジィ設定へと拡張すること。
• 複素ファジィリー代数部分代数の構造的性質と従来のファジィリー代数部分代数との関係を調査すること。
• リー代数の同型写像における複素ファジィ部分代数およびイデアルの挙動、特に像と逆像の構成を研究すること。
• 従来のファジィリー代数からの結果を複素ファジィケースへ一般化し、既存のファジィ理論と整合性を保つこと。

提案手法

• メンバーシップ値が単位円上にある複素ファジィ集合を定義し、$ r(x)e^{iw(x)} $ として表記する。ここで $ r(x) \in [0,1] $、$ w(x) \in [0,2\pi] $ である。
• 複素ファジィ集合における一様性（homogeneity）の概念を導入し、$ r(x) \leq r(y) $ がかつなく $ w(x) \leq w(y) $ であることと同値であると定める。
• メンバーシップ関数が実部および虚部においてファジィ部分代数およびイデアルの条件を満たすように、複素ファジィリー部分代数およびイデアルを定義する。
• $ \pi $-ファジィ集合変換 $ \gamma_A(x) = 2\pi \mu_A(x) $ を用いて、複素ファジィ構造と古典的ファジィ集合との関係を確立する。
• 全射的リー代数同型写像における複素ファジィ部分代数（イデアル）の像が、複素ファジィ部分代数（イデアル）であることを証明する。
• 同型写像によるレベル集合 $ B_{\alpha,\beta} $ の逆像が、前像の複素ファジィ集合の対応するレベル集合に一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円上に複素数値メンバーシップ関数をとる設定を含むように、ファジィリー代数の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 リー代数の同型写像における複素ファジィリー部分代数の像が、常に複素ファジィ部分代数のままであるための条件は何か。
• RQ3 リー代数の同型写像において、複素ファジィ部分代数およびイデアルの逆像はどのように振る舞うか。
• RQ4 複素ファジィリー部分代数とその対応する $ \pi $-ファジィ表現との関係は何か。
• RQ5 どのような条件下で、二つの複素ファジィイデアルの和が全射的同型写像において保存されるか。

主な発見

• 全射的リー代数同型写像における複素ファジィリー部分代数の像は、複素ファジィリー部分代数である。
• 全射的リー代数同型写像における複素ファジィイデアルの像は、複素ファジィイデアルである。
• リー代数同型写像における複素ファジィ部分代数（イデアル）のレベル集合 $ B_{\alpha,\beta} $ の逆像は、前像の複素ファジィ集合の対応するレベル集合に一致する。
• $ B_{\alpha^{>},\beta} $、$ B_{\alpha,\beta^{>}} $、および $ B_{\alpha^{>},\beta^{>}} $ の逆像は、それぞれ前像の複素ファジィ集合の対応するレベル集合に正確に一致する。
• 二つの複素ファジィイデアル $ A $ と $ B $ の和について、$ A $ が $ B $ に対して一様性を満たす場合、全射的同型写像において $ \varphi(A+B) = \varphi(A) + \varphi(B) $ が成り立つ。
• $ \pi $-ファジィ変換は、ファジィ部分代数およびイデアルの構造を保存し、複素ファジィと古典的ファジィリー代数フレームワークとの間の翻訳を可能にする。