[論文レビュー] Complex geodesics and complex Monge-Ampère equations with boundary singularity

Jimmy Xiangji Huang, Xieping Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界が$C^3$-滑らかさを満たす有界な強く線形凸な領域において、複素測地線の一意性を、最小限の正則性仮定のもとで確立する。この一意性とLempertの存在結果を基に、境界特異性を指定された同次複素Monge-Ampère方程式を解く、複素多変数ポアソン核を構成する。これは古典的ポアソン核を高次元へ一般化するものである。

ABSTRACT

We study complex geodesics and complex Monge-Ampère equations on bounded strongly linearly convex domains in $\mathbb C^n$. More specifically, we prove the uniqueness of complex geodesics with prescribed boundary value and direction in such a domain, when its boundary is of minimal regularity. The existence of such complex geodesics was proved by the first author in the early 1990s, but the uniqueness was left open. Based on the existence and the uniqueness proved here, as well as other previously obtained results, we solve a homogeneous complex Monge-Ampère equation with prescribed boundary singularity, which was first considered by Bracci et al. on smoothly bounded strongly convex domains in $\mathbb C^n$.

研究の動機と目的

• 有界な強く線形凸領域における複素測地線の一意性という長年の未解決問題を、境界の正則性を最小限（$C^3$）にとどめて解明すること。
• $C^{m,\alpha}$滑らかさを超えて、境界が僅かに$C^3$である領域に対しても、複素測地線理論を拡張し、構成の頑健性を保証すること。
• 一意性結果を応用し、境界特異性を指定された同次複素Monge-Ampère方程式を解くことにより、古典的ポアソン核の高次元一般化を達成すること。
• プルリコンプレックスポアソン核とプルリコンプレックスグリーン関数との間の関係を、バセマン関数および境界微分$\partial g_\Omega / \partial \nu_p$を通じて確立すること。
• 強い滑らかさ仮定のもとで既知の解と一致することを示し、先行研究との整合性を検証すること。

提案手法

• 変形技術とKobayashi-Royden計量を用いて、$C^3$-滑らかな強く線形凸領域における複素測地線の境界一意性を証明する。
• 一意性結果を活用し、固定された境界点から出る複素測地線のファイブレーションを構成する。
• 複素測地線$\varphi$の双対写像$\varphi^*$を用い、内積$\langle \varphi', \overline{\varphi^*} \rangle = 1$により解の境界挙動を導出する。
• 解の定義として、境界特異性を指定された同次複素Monge-Ampère方程式$\mathrm{MA}(u) = 0$の解$P_{\Omega,p}$を定義する。
• すべての$v \in L_p$に対して、恒等式$P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$を確立し、解と測地線ダイナミクスを結びつける。
• バセマン関数および微分$\partial g_\Omega / \partial \nu_p$を介して、解とプルリコンプレックスグリーン関数を関連付け、$P_{\Omega,p}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が$C^3$である有界な強く線形凸領域において、与えられた境界点と方向をもつ複素測地線は一意的か？
• RQ2 $C^{m,\alpha}$滑らかさを超えて、最小限の正則性仮定のもとで複素測地線の一意性は保証できるか？
• RQ3 複素測地線の存在と一意性を用いて、境界特異性を指定された同次複素Monge-Ampère方程式の解を構成できるか？
• RQ4 構成された複素多変数ポアソン核は、単位円板における古典的ポアソン核とどのように関係するか？
• RQ5 文献に既知の解（例：Bracci-Patrizio や BPT のもの）と一致するか、解$P_{\Omega,p}$は一貫性を有するか？

主な発見

• 境界が$C^3$である有界な強く線形凸領域において、与えられた境界点と方向をもつ複素測地線は一意に定まる。
• 境界特異性を指定された同次複素Monge-Ampère方程式の解$P_{\Omega,p}$は、複素測地線によるファイブレーションを用いて構成される。
• すべての$v \in L_p$に対して、$P_{\Omega,p} \circ \varphi_v = -P / \langle v, \nu_p \rangle^2$が成り立ち、ここで$\varphi_v$は好適な複素測地線である。
• 領域が$C^\infty$-滑らかで強く凸であるとき、解$P_{\Omega,p}$はBracci-Patrizioが構成したものと一致する。
• 恒等式$P_{\Omega}(z,p) = -\partial g_\Omega / \partial \nu_p(z,p)$が成り立ち、これにより解はプルリコンプレックスグリーン関数およびバセマン関数と関連づけられる。
• 境界が$C^3$である強い線形凸領域のプルイポテンシャルコンパクト化の境界は、ユークリッド境界と位相的に同相であり、Poletskyの結果を正則性が低い領域へ拡張する。