[論文レビュー] Complex Hadamard Matrices and Strongly Regular Graphs

Ada Chan|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、GoethalsとSeidelの実Hadamard行列に関する古典的結果を、強正則グラフの隣接代数へと拡張し、複素Hadamard行列へと一般化する。これにより、そのような行列が存在する新たな3つのパラメータ族を同定する。さらに、完全グラフの距離正則被覆のうち、複素Hadamard行列を生成するのはたった3つであることを示し、その行列がNomura代数の次元が2（dim=2）であるため、Diflaの構成とは由来しないことを証明する。

ABSTRACT

Over forty years ago, Goethals and Seidel showed that if the adjacency algebra of a strongly regular graph $X$ contains a Hadamard matrix then $X$ is either of Latin square type or of negative Latin square type. We extend their result to complex Hadamard matrices and find only three additional families of parameters for which the strongly regular graphs have complex Hadamard matrices in their adjacency algebras. Moreover we show that there are only three distance regular covers of the complete graph that give complex Hadamard matrices.

研究の動機と目的

• 強正則グラフの隣接代数における実Hadamard行列に関するGoethalsとSeidelの結果を、複素の場合へと一般化すること。
• 隣接代数に複素Hadamard行列を含むような強正則グラフのすべてのパラメータを分類すること。
• 完全グラフの距離正則被覆のうち、どのものが複素Hadamard行列を生成するかを特定すること。
• 構築された複素Hadamard行列が、Diflaの一般化されたテンソル積構成から生じるかどうかを調査すること。
• 見つかった複素Hadamard行列に関連するNomura代数の構造を分析すること。

提案手法

• 論文は、行列要素の和を含む特定の直交性条件で定義されるタイプII行列を用いる。
• 複素Hadamard行列は、すべての要素が単位円上にあり、$ W\overline{W}^T = nI $ を満たすタイプII行列として特徴づけられる。
• 強正則グラフの隣接代数フレームワークを適用し、候補となる行列を $ W = I + xA(X) + yA(\overline{X}) $ の形で表現する。
• グラフのパラメータと固有値に基づく方程式系を解くことで、そのような行列がタイプIIであるための必要十分条件を導出する。
• Nomura代数 $ \mathcal{N}_W $ の構造を分析するために、内積 $ \langle Y_{\alpha\beta}, Y_{\gamma\alpha} \rangle $ を計算する。
• 補題4.4を用いて、すべての $ \gamma \neq \alpha, \beta $ に対して内積が非ゼロである場合、$ \dim \mathcal{N}_W = 2 $ であると結論づける。これはDifla由来でないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知のラテン平方型および負ラテン平方型とは異なる、強正則グラフのどのパラメータがその隣接代数に複素Hadamard行列を有するか？
• RQ2 完全グラフの距離正則被覆のうち、複素Hadamard行列を生成するのはいくつであり、それらの構造的性質は何か？
• RQ3 新たに構築された複素Hadamard行列は、Diflaの一般化されたテンソル積構成から生じるか？
• RQ4 これらの複素Hadamard行列に関連するNomura代数 $ \mathcal{N}_W $ の次元は何か？
• RQ5 内積 $ \langle Y_{\alpha\beta}, Y_{\gamma\alpha} \rangle $ の非ゼロの実部を用いて、$ \mathcal{N}_W = \mathrm{span}\{I, J\} $ を証明できるか？

主な発見

• 論文は、強正則グラフの隣接代数に複素Hadamard行列を含む新たな3つのパラメータ族を同定し、GoethalsとSeidelの結果を拡張した。
• 完全グラフの距離正則被覆のうち、複素Hadamard行列を生成するのはたった3つであり、これらは完全に分類されている。
• 構築された複素Hadamard行列に対して、Nomura代数 $ \mathcal{N}_W $ の次元は2である。これは、それらがDiflaの一般化されたテンソル積構成から生じないことを示唆する。
• Petersen図の線グラフにおける複素Hadamard行列が存在することを確認し、Difla型ではないことが示された。
• すべての $ \gamma \neq \alpha, \beta $ に対して、内積 $ \langle Y_{\alpha\beta}, Y_{\gamma\alpha} \rangle $ の実部が非ゼロであり、これにより $ \mathcal{N}_W = \mathrm{span}\{I, J\} $ が強制される。
• パラメータ $ (4\theta^2-1, 2\theta^2, \theta^2, \theta^2) $ および $ (4\theta^2+4\theta+2, 2\theta^2+\theta, \theta^2-1, \theta^2) $ の場合に、複素Hadamard行列が構築され、$ \dim \mathcal{N}_W = 2 $ であることが示された。