[論文レビュー] Complex Hessian Equation on Kähler Manifold

Zuoliang Hou|ArXiv.org|Dec 24, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非負の正則バイセクショナル曲率をもつコンパクト・カーラー多様体上で、複素ヘッシアン方程式 $(ω + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^k \wedge \omega^{n-k} = f\omega^n$ の滑らかな解の存在と一意性を、連続性法と事前 $C^2$ 評価を用いて確立する。主な結果は、曲率と正性の仮定の下での $C^2$ 評価であり、ヤウの複素マソン＝アームゼ方程式へのアプローチを一般化する。

ABSTRACT

In this paper, complex Hessian equation over Kähler manifold was studied. Under the condition that the underline Kähler manifold has non-negative holomorphic bisectional curvature, the existence and regularity of the solution was proved.

研究の動機と目的

• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつコンパクト・カーラー多様体上で、複素ヘッシアン方程式の可解性を確立すること。
• ヤウの複素マソン＝アームゼ方程式へのアプローチを、$2 \leq k \leq n-1$ のより一般的な複素ヘッシアン方程式へ一般化すること。
• 曲率と関数の正則性の仮定の下で事前 $C^2$ 評価を導出し、滑らかな解の存在を保証すること。
• 曲率が複素ヘッシアン方程式の可解性に果たす役割を明確にすること、特に非負の正則バイセクショナル曲率が本質的であるのか、技術的要請にすぎないのかを明らかにすること。

提案手法

• 連続性法を用いて、コンパクト・カーラー多様体上で複素ヘッシアン方程式の解の存在を証明する。
• クリロフとエヴァンズの標準理論を適用し、問題を事前 $C^2$ 評価の証明に還元する。
• ヘッシアン行列 $\partial\bar{\partial}\varphi$ と関数 $f^{1/k}$ によって誘導されるヘッセ型計量 $H$ を用い、$H^{\alpha\bar{\beta}} = \tilde{F}^{\alpha\bar{\beta}}(I_n + (\varphi_{\alpha\bar{\beta}}))$ で定義する。
• リッチ恒等式と $S_k^{1/k}$ の凹性を用いて、ラプラシアン評価 $\tilde{\Delta}(n + \Delta\varphi) \geq \Delta(f^{1/k})$ を導出する。
• 正則バイセクショナル曲率の非負性を用いて、ラプラシアン評価における曲率項の非負性を保証し、グローバルな有界性を実現する。
• 最大点における $\operatorname{tr}_\omega H$ と $n + \Delta\varphi$ の有界性を確立し、$\omega_\varphi$ の固有値に対する $\omega$ に関する一様な制御を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の正則バイセクショナル曲率をもつコンパクト・カーラー多様体上で、複素ヘッシアン方程式 $(\omega + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi)^k \wedge \omega^{n-k} = f\omega^n$ は滑らかな解をもつか？
• RQ2 非負の正則バイセクショナル曲率は、複素ヘッシアン方程式の可解性にとって本質的な幾何的条件であるのか、あるいは技術的要請にすぎないのか？
• RQ3 ヤウによるカリーブ＝ヤウ予想の証明に類似する手法を用いて、複素ヘッシアン方程式の $C^2$ 事前評価を確立できるか？
• RQ4 背景となるカーラー計量に依存する $k$-正の錐の依存性が、複素ヘッシアン方程式の可解性と正則性に与える影響は何か？
• RQ5 複素ヘッシアン方程式において、$f$ の厳密な正則性をどれほど緩和できるか、可解性と正則性を保つ範囲はどの程度か？

主な発見

• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつコンパクト・カーラー多様体上で、滑らかな $f$ が正定値であるとき、複素ヘッシアン方程式は定数の加法的不定を除き一意な滑らかな解をもつ。
• $C^0$ 評価は $\|\varphi\|_{C^0} \leq C_q$ で確立され、$C_q$ は $(M,\omega)$、$q > 2n$、および $\|f - 1\|_{L^q}$ に依存する。
• $C^1$ 評価は $\|\nabla\varphi\|_{C^0(\omega)} \leq C_1$ で与えられ、$C_1$ は $(M,\omega)$、$\|f^{1/k}\|_{C^1(\omega)}$、および $\operatorname{osc}\varphi$ に依存する。
• ラプラシアン評価 $\tilde{\Delta}(n + \Delta\varphi) \geq \Delta(f^{1/k})$ を用いて $C^2$ 評価を達成し、$\|\partial\bar{\partial}\varphi\|_{C^0(\omega)} \leq C_2$ が得られる。ここで $C_2$ は $\sup f$、$\inf \Delta(f^{1/k})$、および $\operatorname{osc}\varphi$ に依存する。
• 正則バイセクショナル曲率の非負性は、ラプラシアン評価における曲率項の制御に不可欠であり、曲率展開におけるリッチ型項の非負性を保証する。
• 結果として、$k$-正の錐が背景計量に依存することにより、正則性の制御に複素マソン＝アームゼの場合とは異なる幾何的制約が生じることを示している。