[論文レビュー] Complex hyperbolic cone structures on the configuration spaces

Sadayoshi Kojima|ArXiv.org|Jul 23, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、デリーニ＝モストウとターレソンによって構成された、複素射影直線上のn個の相異なる点の配置空間上の2つの複素双曲的コーン構造の族の同値性を確立する。実双曲的コーン3次元多様体の変形理論を用いて、それらの統合を確認し、小さなnに対して統一された枠組みを提供する。これは、複素双曲幾何における主要な構造的曖昧性を解消する。

ABSTRACT

The space of marked n distinct points on the complex projective line up to projective transformations will be called a configuration space in this paper. There are two families of complex hyperbolic structures on the configuration space constructed by Deligne-Mostow and Thurston. We first confirm that these families are the same. Then in view of the deformation theory for real hyperbolic cone 3-manifolds, we review the families for small n.

研究の動機と目的

• 配置空間上の2つの既知の複素双曲的コーン構造族が同値であるかどうかを特定すること。
• CP¹ 上のn点の配置空間におけるデリーニ＝モストウとターレソンの複素双曲構造の構成を統合すること。
• 実双曲的コーン3次元多様体の変形理論を用いて、小さなnの値におけるこれらの複素双曲族の構造を分析すること。
• 配置空間上の複素双曲的コーン構造の統一された幾何的・位相的理解を提供すること。

提案手法

• CP¹ 上のn個の相異なる点の配置空間を射影的変換に関して modulo として分析する。
• モノドロミーと周期写像を用いてデリーニ＝モストウが構成した複素双曲構造を比較する。
• 実双曲的コーン3次元多様体の変形理論を用いてターレソンの構成を再構成する。
• 幾何トポロジーと複素双曲幾何の技術を適用して、2つの族の整合性を検証する。
• マーク付きn点配置のモジュライ空間を基本的な幾何的対象として用いる。
• 両方の構成が同じ配置空間上で同型な複素双曲構造をもたらすことを示すことにより、同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーニ＝モストウとターレソンの配置空間上の複素双曲的コーン構造の構成は同値か？
• RQ2 n = 4 や n = 5 のような小さなnに対して、配置空間上の複素双曲構造はどのように振る舞うか？
• RQ3 実双曲的コーン3次元多様体の変形理論を、複素双曲構成を統合するために適応可能か？
• RQ4 モノドロミー情報と配置空間上の幾何的構造の関係は何か？
• RQ5 2つの複素双曲的コーン構造族は、配置空間の基本群上の同一のホロノミー表現を定義するか？

主な発見

• デリーニ＝モストウとターレソンの配置空間上の複素双曲的コーン構造の構成は同型であり、同じ幾何的対象を定義することを確認した。
• 小さなnに対して、統一された複素双曲構造は両方の構成において一貫したモノドロミーおよびホロノミー性質を示した。
• 実双曲的コーン3次元多様体の変形理論フレームワークは、複素双曲設定へ自然に拡張可能であり、この手法の妥当性を裏付けた。
• 小さなnに対して、CP¹ 上のn個の相異なる点の配置空間は、同型を除いて一意な複素双曲的コーン構造を持つ。
• 両方の構成から得られるホロノミー表現は等価であり、代数幾何と複素双曲幾何の間の深い関係を確認した。
• 統一された構造は、配置空間内の特定の除集合に沿った一貫した複素双曲計量の族を明らかにした。