[論文レビュー] Complex Hyperbolic Structures on Disc Bundles over Surfaces. II. Example of a Trivial Bundle

Sasha Anan’in, Nikolay Gusevskii|ArXiv.org|Dec 17, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、複素双曲幾何における長年の未解決問題を解消するため、 genus 2 の曲面上の自明な円板バンドルに複素双曲構造を構成する。複素双曲平面における3つの複素反射で生成される離散群を用い、交差する二等分線を介して基本多面体を構成することで、非整数のトーラルド不変量を示し、ホロモーフィック切断の存在に必要な関係式 $2(\chi + e) = 3\tau$ を確認する。

ABSTRACT

This article is based on the methods developed in [AGG]. We construct a complex hyperbolic structure on a trivial disc bundle over a closed orientable surface $Σ$ (of genus 2) thus solving a long standing problem in complex hyperbolic geometry (see [Gol1, p. 583] and [Sch, p. 14]). This example answers also [Eli, Open Question 8.1] if a trivial circle bundle over a closed surface of genus >1 admits a holomorphically fillable contact structure. The constructed example M satisfies the relation $2(χ+e)=3τ$ which is necessary for the existence of a holomorphic section of the bundle, where $χ=χΣ$ stands for the Euler characteristic of $Σ$, e=eM, for the Euler number of the bundle, and $τ$, for the Toledo invariant. (The relation is also valid for the series of examples constructed in [AGG].) Open question: Does there exist a holomorphic section of the bundle M?

研究の動機と目的

• genus >1 の閉じた向き付け可能な曲面上の自明な円板バンドルが複素双曲構造を有するかどうかという未解決問題を解消すること。
• genus 2 の曲面上の自明なバンドルにそのような構造の具体的な例を構成すること。
• 構成された例に対して、ホロモーフィック切断の存在に必要な条件である $2(\chi + e) = 3\tau$ という位相的不変量の関係式を検証すること。
• [AGG] や [Eli, Open Question 8.1] で提起された問いに従い、構成された複素双曲円板バンドルにホロモーフィック切断が存在するかを調査すること。

提案手法

• 複素双曲平面 $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ において、3つの複素反射 $R_1, R_2, R_3$ で生成される離散群 $T$ を構成する。ここで $R_1, R_2$ は点反射であり、$R_3$ は実平面に関する反射である。
• 群 $T$ が $\mathrm{SU}(2,1)$ の離散部分群として $\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^2$ 上に正常に離散的に作用するように、関係式 $(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 = 1$ を課す。
• 共通の断片を持つ交差する二等分線の三角形を用いて、群 $T$ の基本多面体を構成し、[AGG] の手法により離散性を保証する。
• パラメータ $t, t_1, t_2$ を持つ特定の $\mathbb{C}$-基底 $p_1, p_2, p_3 \in V$ を用い、$t^2 + t_1^2 + t_2^2 - t t_1 t_2 > 1$ を満たすことで、必要な測地線および二等分線の存在を保証する。
• 幾何的基準（Criterion I.2.5.4 および Lemma I.5.4.3）を適用し、二等分線の三角形 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ の交差性、向き、楕円的性を検証する。
• 複素内積の実部の正値性を確認することで、角度 $\beta_i$ が $(0, \pi/2)$ の範囲にあり、合計が $\pi$ より小さいこと、すなわち $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 < \pi$ であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 の閉じた向き付け可能な曲面上の自明な円板バンドルに複素双曲構造が存在するか？
• RQ2 非整数のトーラルド不変量を持つ複素双曲円板バンドルに対して、関係式 $2(\chi + e) = 3\tau$ が満たされるか？
• RQ3 構成された例のトーラルド不変量 $\tau$ が非整数であるか、すなわちホロモーフィック切断が存在しないことを示唆するか？
• RQ4 構成された例がホロモーフィック切断の存在に必要な位相的条件を満たすか？
• RQ5 $\mathrm{SU}(2,1)$ 内の3つの複素反射で生成される離散群が、曲面に上にフィブレーションする有限体積の複素双曲多様体を生成できるか？

主な発見

• 本稿は、genus 2 の曲面上の自明な円板バンドルに複素双曲構造を構成し、複素双曲幾何における長年の未解決問題を解決する。
• 構成された例は関係式 $2(\chi + e) = 3\tau$ を満たしており、$\chi = -2$, $e = 0$, $\tau$ は非整数である。これはホロモーフィック切断の存在に必要な条件を確認するものである。
• トーラルド不変量 $\tau$ は非整数であり、$(R_3 R_1 R_2 R_3 R_2 R_1)^2 \neq 1$ が $\mathrm{SU}(2,1)$ 内で成り立つことから、その表現が整数的でないことが示唆される。
• パラメータ $t = 2.22$ に対して、$t_1 = 2.23$, $t_2 = 3.22$ はすべての必要な不等式を満たす。式 (3) では 4.33、(4) では 1.44 と 1.56、(5) では 1.86、(6) では $-7.63 - i \cdot 4.41$ が内積として得られ、(7) と (8) では正の実部と 248.24 が得られる。
• 二等分線の三角形 $\Delta(C_1, C_2, C_3)$ は交差的であり、反時計回りに向き付けられており、楕円的である。すべての角度 $\beta_i$ は $(0, \pi/2)$ にあり、合計は $\pi$ より小さい。これにより、基本領域としての幾何的構成が妥当であることが確認される。
• 必要な不等式を満たす非ゼロの自己双対ベクトル $w_3$ の存在は、構成の幾何的整合性および群作用の非退化性を裏付けている。