[論文レビュー] Complex instruction set computing architecture for performing accurate quantum $Z$ rotations with less magic

Andrew J. Landahl, Chris Cesare|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、故障耐性量子計算のための複雑命令セットアーキテクチャ（CISC）を提案し、$2 \leq k \leq k_{\text{max}}$ の範囲で $Z(\pi/2^k)$ ゲートのためのマジック状態を直接準備することにより、正確な $Z$-回転を可能にする。長さ $2^{k+2}-1$ の短縮量子リード・マラー符号を用いることで、$k \leq 6$ の場合に 0.85% を超えるマジック状態の精錬閾値を達成し、標準的なRISCアプローチと比較してリソースのオーバーヘッドを顕著に低減する。

ABSTRACT

We present quantum protocols for executing arbitrarily accurate $π/2^k$ rotations of a qubit about its $Z$ axis. Reduced instruction set computing ( extsc{risc}) architectures typically restrict the instruction set to stabilizer operations and a single non-stabilizer operation, such as preparation of a "magic" state from which $T = Z(π/4)$ gates can be teleported. Although the overhead required to distill high-fidelity copies of this magic state is high, the subsequent quantum compiling overhead to realize $Z$ rotations in a extsc{risc} architecture can be much greater. We develop a complex instruction set computing ( extsc{cisc}) architecture whose instruction set includes stabilizer operations and preparation of magic states from which $Z(π/2^k)$ gates can be teleported, for $2 \leq k \leq k_{ ext{max}}$. This results in a substantial overall reduction in the number of gates required to achieve a desired gate accuracy for $Z$ rotations. The key to our construction is a family of shortened quantum Reed-Muller codes of length $2^{k+2}-1$, whose magic-state distillation threshold shrinks with $k$ but is greater than 0.85% for $k \leq 6$.

研究の動機と目的

• 故障耐性量子計算における任意の精度の $Z$-回転を実装するために必要なリソースのオーバーヘッドを低減すること。
• RISCアーキテクチャが $T = Z(\pi/4)$ ゲートのための1つのマジック状態の精錬に依存する場合に生じる高い量子コンパイルオーバーヘッドを克服すること。
• 複雑命令セットアーキテクチャ（CISC）を設計し、$Z(\pi/2^k)$ ゲートを直接サポートする専用のマジック状態準備を可能とすること。
• 一般化された直交性条件を用いて、$Z(\pi/2^k)$ 回転のトランスバーサル実装を可能にする量子符号を同定すること。
• 短縮 $\overline{RM}(1,k+2)$ 符号が $2^{k+1}$-可除性を満たし、高い精錬閾値で正確な $Z$-回転を実現できることを示すこと。

提案手法

• アーキテクチャは、$T = Z(\pi/4)$ に依存するのではなく、$2 \leq k \leq k_{\text{max}}$ の範囲で $Z(\pi/2^k)$ ゲートのためのマジック状態の準備を追加することでRISCを拡張する。
• 論理的キュービットの基盤として、長さ $2^{k+2}-1$ の短縮量子リード・マラー符号を採用する。
• トランスバーサル $Z_k$ 操作は、$2^{k+1}$-可除な古典的符号のためのウォードの可除性テストに基づく一般化された $k$-直交性条件を用いて実装される。
• この条件は、$H^X$ 生成行列の任意の $j$ 行の成分ごとの積のハミング重みが、すべての $1 \leq j \leq k+1$ に対して $2^{k+2-j}$ で割り切れる必要があることを要請する。
• 符号の $H^X$ 行列がこの条件を満たし、$n \equiv a \bmod 2^{k+1}$ である場合、論理的 $Z_k^a$ ゲートはトランスバーサルに実装可能である。
• トランスバーサル $Z_k$ による位相の蓄積が、望ましい回転と一致することを活用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接複数の $Z(\pi/2^k)$ ゲートをサポートするCISCアーキテクチャは、RISCアーキテクチャと比較して、量子コンパイルのリソースコストを低減できるか？
• RQ2 どのような量子符号構造が、任意の $k$ に対して $Z(\pi/2^k)$ 回転のトランスバーサル実装を可能にするか？
• RQ3 短縮リード・マラー符号を用いた $Z(\pi/2^k)$-ベースのプロトコルのマジック状態の精錬閾値は何か？
• RQ4 一般化された $k$-直交性条件は、先行研究で用いられた三重直交性条件をどのように拡張するか？
• RQ5 $2^{k+1}$-可除な古典的符号は、量子エラー訂正に使用するために効率的に構築および検証可能か？

主な発見

• 提案されたCISCアーキテクチャは、$T$-ゲートのテレポートーションに依存するのではなく、$Z(\pi/2^k)$ ゲートのためのマジック状態を直接準備することにより、正確な $Z$-回転を実装するためのリソースのオーバーヘッドを低減する。
• 長さ $2^{k+2}-1$ の短縮 $\overline{RM}(1,k+2)$ 符号は、$H^X$ 生成行列がウォードの可除性テストに基づく $k$-直交性条件を満たす場合、トランスバーサル $Z(\pi/2^k)$ 回転をサポートする。
• これらの符号のマジック状態の精錬閾値は $k \leq 6$ の場合に 0.85% を超え、高い耐障害性閾値を示している。
• 任意の $j$ 行の成分ごとの積のハミング重みが $1 \leq j \leq k+1$ のすべての $j$ に対して $2^{k+2-j}$ で割り切れる場合、$Z(\pi/2^k)^a$ のトランスバーサル実装が保証される。
• 奇数 $a$ の場合、拡張ユークリッドアルゴリズムを用いて逆数の指数を見つけることで、反復適用により $Z(\pi/2^k)^a$ を任意の精度に近似可能である。
• この手法は、ブレイヴィ・ハハの三重直交性条件を一般化した $k$-直交性条件に拡張し、高精度な $Z$-回転をサポートするより広いクラスの符号を可能にする。