[論文レビュー] Complex Interpolation of Weighted Besov- and Lizorkin-Triebel Spaces (long version)

Winfried Sickel, Leszek Skrzypczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所Muckenhoupt重みを伴う重み付きBesov空間およびLizorkin-Triebel空間の複素補間公式を、関連する系列空間のCalderón積とウェーブレット同型写像を用いて確立する。主な結果は、古典的なCalderón補間公式を重み付き関数空間へ拡張し、$[F^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbf R}^d,w_0), F^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbf R}^d,w_1)]_{\Theta} = F^s_{p,q}({\mathbf R}^d,w)$ およびBesov空間に対しても同様に成り立つことを示す。ここで $w = w_0^{(1-\Theta)p/p_0} w_1^{\Theta p/p_1}$ であり、一般のパrameter範囲および $w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ の下で成立する。これは、重みが等しくない場合の重み付き関数空間における補間理論における長年の空白を解消する。

ABSTRACT

We study complex interpolation of weighted Besov and Lizorkin-Triebel spaces. The used weights $w_0,w_1$ are local Muckenhoupt weights in the sense of Rychkov. As a first step we calculate the Calderón products of associated sequence spaces. Finally, as a corollary of these investigations, we obtain results on complex interpolation of radial subspaces of Besov and Lizorkin-Triebel spaces on $\R^d$.

研究の動機と目的

• 重み付きLebesgue空間の古典的複素補間公式を、重みが異なる重み付きBesov空間およびLizorkin-Triebel空間へ拡張すること。
• 重み $w_0$ と $w_1$ が異なる場合、特に局所Muckenhoupt重みの文脈において、重み付き関数空間に対する一般の補間結果の欠落を解消すること。
• 系列空間のCalderón積とウェーブレット特徴付けを用いて、重み付きTriebel-Lizorkin空間およびBesov空間の複素補間を体系的に計算する方法を確立すること。
• 偏微分方程式論および調和解析への応用を動機として、これらの関数空間の径数部分空間に対する新しい補間公式を導出すること。

提案手法

• まず、関連する系列空間 $f^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)^{1-\Theta} f^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)^\Theta = f^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ および $b$-空間に対しても同様に、一般のパrameter範囲および $w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ の下でCalderón積を計算する。
• ウェーブレット同型写像を用いて、$B^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ および $F^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ がそれぞれ $b^{s+d/2}_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ および $f^{s+d/2}_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ に同型であることを利用して、系列空間から関数空間へ補間結果を持ち上げる。
• 適切な条件下で、Calderón積と複素補間の一致が既知であることを利用し、関数空間の補間結果を導出する。
• Shestakovの擬Banach空間の複素補間に関する結果を用いて、非分離空間へこの手法を拡張する。
• 関数空間の構造を径数関数に制限することで、径数部分空間に理論を適用し、同型写像および補間結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $w_0 \neq w_1$ で両方が局所Muckenhoupt重みである場合、重み付きBesov空間 $B^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)$ と $B^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)$ の正しい複素補間公式は何か？
• RQ2 一般のパrameterおよび $\mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ 内の重みに対して、重み付きBesovおよびLizorkin-Triebel空間に関連する系列空間のCalderón積を明示的に計算できるか？
• RQ3 径数部分空間における複素補間はどのように振る舞い、一般補間結果から導出可能か？
• RQ4 ウェーブレット同型写像は、重み付き設定において系列空間から関数空間への補間結果の転送にどのように寄与するか？
• RQ5 重み付き関数空間の複素補間が、関連する系列空間のCalderón積と一致する条件は何か？

主な発見

• 一般の $s_i, p_i, q_i$ の条件下で、$w_0,w_1 \in \mathcal{A}_\infty^{\text{loc}}$ の下で、系列空間のCalderón積 $f^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)$ と $f^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)$ は $f^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ に等しく、ここで $w = w_0^{(1-\Theta)p/p_0} w_1^{\Theta p/p_1}$ である。
• 同様の結果が $b$-系列空間に対しても成り立つ：$b^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0)^{1-\Theta} b^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)^\Theta = b^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$。
• 重み付きLizorkin-Triebel空間の複素補間は、$[F^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0), F^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)]_{\Theta} = F^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ を満たし、同じ重みの式が成り立つ。
• 重み付きBesov空間の複素補間は、同じ条件下で $[B^{s_0}_{p_0,q_0}({\mathbb R}^d,w_0), B^{s_1}_{p_1,q_1}({\mathbb R}^d,w_1)]_{\Theta} = B^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ を満たす。
• これらの関数空間の径数部分空間へも結果が拡張され、ウェーブレット同型写像および一般補間結果を用いて $\mathring{B}^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ および $\mathring{F}^s_{p,q}({\mathbb R}^d,w)$ の補間公式が得られる。
• この手法は擬Banach空間に対しても有効であり、$p<1$ および $q\leq\infty$ を許容するが、技術的制限により極限ケース $F^s_{\infty,q}({\mathbb R}^d,w)$ は除外される。