[論文レビュー] Complex interpolation of weighted noncommutative $L_p$-spaces

Éric Ricard, Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、半有限なフォン・ノイマン代数における正則で可逆な作用素 $d$ による左乗算と右乗算の和を用いて定義される重み付き非可換 $L_p$-空間について、複素補間定理を確立する。シュール作用素とピスィエの三角部分空間に関する補間定理を用いて、$L_{p_0}(d^{eta_0})$ と $L_{p_1}(d^{eta_1})$ の複素補間が $L_p(d^\alpha)$ に等価なノルムをもって得られることを証明する。ここで $\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}$ および $\alpha = (1-\theta)\alpha_0 + \theta\alpha_1$ であり、条件として $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ を仮定する。この結果は、既知の片側重み付き補間恒等式を両側重み付きの場合に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be a semifinite von Neumann algebra equipped with a semifinite normal faithful trace $ au$. Let $d$ be an injective positive measurable operator with respect to $(\mathcal{M}, au)$ such that $d^{-1}$ is also measurable. Define $$L_p(d)={x\in L_0(\mathcal{M}) : dx+xd\in L_p(\mathcal{M})}\quad{and}\quad \|x\|_{L_p(d)}=\|dx+xd\|_p .$$ We show that for $1\le p_0<p_1\le\8$, $0< heta<1$ and $\alpha_0\ge0, \alpha_1\ge0$ the interpolation equality $$(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1}))_ heta =L_{p}(d^{\alpha})$$ holds with equivalent norms, where $\frac1p=\frac{1- heta}{p_0}+\frac{ heta}{p_1}$ and $\alpha=(1- heta)\alpha_0+ heta\alpha_1$.

研究の動機と目的

• 正則で可逆な作用素 $d$ による左乗算と右乗算の和によって定義される重み付き非可換 $L_p$-空間の複素補間恒等式を確立すること。
• 既知の右側および左側重み付き補間結果を、両方の乗算が関与する両側の場合に拡張すること。
• 条件 $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ の下で、補間空間 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$ が $L_p(d^\alpha)$ と等長同型であり、ノルムが等価であることを証明すること。
• ジャンジュとパルセの定理との双対性に依存しない、シュール作用素と作用素空間技法を用いた両側補間結果の直接的証明を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$x \in L_0(M)$ に対して $dx + xd \in L_p(M)$ を満たすような作用素 $x$ の集合として、重み付き $L_p$-空間 $L_p(d)$ を定義し、ノルム $\|x\|_{L_p(d)} = \|dx + xd\|_p$ を備える。
• 関数 $f \in L^1(\mathbb{R})$ で $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$ を満たすものに対して関連する特定のシュール作用素の有界性を示し、行列 $(f(s_i - s_j))$ が $B(\ell^2)$ 上で完全有界なシュール作用素を定義することを示す。
• 証明は、写像 $\Sigma_d: x \mapsto dx + xd$ を通じたねじれの同一視に依存しており、これは $L_p(d)$ から $L_p(M)$ への等長写像を提供する。これにより、標準的な補間理論の適用が可能になる。
• 補間空間 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$ は、等長写像 $\Sigma_d$ と補間写像の合成を通じて分析され、$L_p(d^\alpha)$ への有界な拡張が得られる。
• 近似技法が用いられ、$d$ と $d^{-1}$ が有界である場合に還元するため、スペクトル射影と離散スペクトルを持つ近似列 $d_n$ を考察することで問題を簡略化する。
• 双対性の議論を用いて証明を完成させ、ドミネーテッド・コンバージェンス定理を用いて双対ノルムにおける収束を確認することで、ノルムの等価性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則作用素による左乗算と右乗算を含む両側乗算を伴う重み付き非可換 $L_p$-空間の複素補間を、片側から両側への拡張することは可能か？
• RQ2 重み $\alpha_0, \alpha_1$ がどのような条件下で、補間恒等式 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta} = L_p(d^\alpha)$ が等価なノルムをもって成立するか？
• RQ3 ジャンジュとパルセの定理との双対性に依存しない、シュール作用素技法を用いた両側補間結果の証明は可能か？
• RQ4 $\alpha_0$ と $\alpha_1$ が符号を異にしても、非負の重みでは成立するのになぜ補間恒等式が失敗するのか？

主な発見

• 重み付き非可換 $L_p$-空間 $L_{p_0}(d^{\alpha_0})$ と $L_{p_1}(d^{\alpha_1})$ の複素補間が、$\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_0} + \frac{\theta}{p_1}$ および $\alpha = (1-\theta)\alpha_0 + \theta\alpha_1$ を満たす $L_p(d^\alpha)$ に等価なノルムをもって得られることを、$\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ の条件下で示した。
• 証明は、$L^1$-フーリエ変換に関連する特定のクラスのシュール作用素の有界性に依存しており、これが補間写像の制御に用いられる。
• 著者らは、ジャンジュとパルセの定理との双対性に依存しない直接的証明を確立したが、同時にこの結果が双対性により再現可能であることも指摘している。
• 補間空間 $(L_{p_0}(d^{\alpha_0}), L_{p_1}(d^{\alpha_1})){_\theta}$ は、等長写像 $\Sigma_d$ と補間写像の合成を通じて $L_p(d^\alpha)$ に等長埋め込みされ、有界な拡張が得られる。
• 補間恒等式は、$\alpha_0$ と $\alpha_1$ が符号を異にする場合に失敗する。これは、特定のシュール作用素行列の非有界性を示す反例によって裏付けられる。
• 離散スペクトルを持つ作用素による近似により、$d$ と $d^{-1}$ が有界である場合に還元可能であり、これにより標準的補間およびノルム収束を伴う双対性の議論が可能になる。