[論文レビュー] Complex Langevin for Lattice QCD at $T=0$ and $μ\ge 0$

D. K. Sinclair, J. B. Kogut|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゼロ温度および有限の化学ポテンシャル μ における2フラーバー格子QCDをシミュレートするために、ゲージクールティングを用いた複素ランジュバン方程式（CLE）を適用し、正しい相転移構造と物理量を再現できるかを検証する。12⁴格子（β=5.6）では、μ≈mN/3近辺に相転移が見られるが、クリティカルコンデンサートやプラケットといった物理量には系統的偏差が見られる。一方、より大きな16⁴格子（β=5.7）では、既知の結果との一致が著しく向上し、弱い結合・連続極限においてCLEが正しい結果をもたらす可能性があることが示唆される。

ABSTRACT

QCD at finite quark-/baryon-number density, which describes nuclear matter, has a sign problem which prevents direct application of standard simulation methods based on importance sampling. When such finite density is implemented by the introduction of a quark-number chemical potential $μ$, this manifests itself as a complex fermion determinant. We apply simulations using the Complex Langevin Equation (CLE) which can be applied in such cases. However, this is not guaranteed to give correct results, so that extensive tests are required. In addition, gauge cooling is required to prevent runaway behaviour. We test these methods on 2-flavour lattice QCD at zero temperature on a small ($12^4$) lattice at an intermediate coupling $β=6/g^2=5.6$ and relatively small quark mass $m=0.025$, over a range of $μ$ values from $0$ to saturation. While this appears to show the correct phase structure with a phase transition at $μ\approx m_N/3$ and a saturation density of $3$ at large $μ$, the observables show departures from known values at small $μ$. We are now running on a larger lattice ($16^4$) at weaker coupling $β=5.7$. At $μ=0$ this significantly improves agreement between measured observables and known values, and there is some indication that this continues to small $μ$s. This leads one to hope that the CLE might produce correct results in the weak-coupling -- continuum -- limit.

研究の動機と目的

• 有限核密度における標準的手法が符号問題のため失敗する状況において、ゲージクールティングを用いた複素ランジュバン方程式（CLE）の有効性を検証すること。
• CLEが、μ≈mN/3におけるハドロン状態から核物質への相転移および大きなμにおける飽和を正しく再現できるかを明らかにすること。
• 小スケール格子におけるCLE物理量（特にクリティカルコンデンサートとプラケット）の系統的誤差を評価し、より大きな格子や弱い結合での改善を検討すること。
• フェルミオン行列式の零点に起因するドリフト項のハーモニック性の破れを考慮しても、弱い結合および連続極限においてCLEが正しい分布に収束するかを調査すること。
• 色超伝導や有限温度における臨界点といった高μ相の研究におけるCLEの可能性を探索すること。

提案手法

• フェルミオン行列式が複素数になる状況に対応するため、標準的なランジュバン方程式を複素数の場に拡張し、SU(3)ゲージ場をSL(3,C)に拡張する。
• 発散を抑えるために、各更新ステップで配置をSU(3)多様体に射影するゲージクールティングを導入し、場の発散を防ぐ。
• 系を記述するための複素作用 S(U,μ) = β∑□{1−1/6Tr[UUUU+(UUUU)⁻¹]} − Nf/4 Tr{ln[M(U,μ)]} を使用し、スタッガードディラック作用素 M(U,μ) を用いる。
• 複素ノイズ項 ηₗ を含む確率微分方程式によりゲージ場を時間発展させ、適切な正規化とガウス白色ノイズを保証する。
• μ=0およびμ>0における12⁴および16⁴格子上でシミュレーションを実施し、プラケット、クリティカルコンデンサート、クォーク数密度といった物理量をRHMCの結果と比較する。
• βと格子サイズを系統的に変化させ、有限サイズ効果および有限ステップサイズ効果を評価し、弱い結合・連続極限に近づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージクールティングを用いたCLEは、T=0における2フラーバーQCDでμ≈mN/3におけるハドロン状態から核物質への相転移を正しく再現できるか？
• RQ2 β=5.6における小スケール格子（12⁴）でのCLEシミュレーションは、プラケットやクリティカルコンデンサートといった既知の物理量に対してどの程度系統的偏差を示すか？
• RQ3 格子サイズ（16⁴）の拡大および結合定数（β=5.7）の弱化により、μ=0におけるCLE結果と既知の値との一致はどの程度向上するか？
• RQ4 フェルミオン行列式の零点に起因するドリフト項のハーモニック性の破れがあるにもかかわらず、弱い結合および連続極限においてCLEが正しい分布に収束できるか？
• RQ5 ゲージクールティングやドリフト項にどのような修正を加えることで、CLEの失敗をさらに低減し、正しい結果への収束を改善できるか？

主な発見

• β=5.6、m=0.025の12⁴格子では、CLEシミュレーションでμ≈0.33（mN/3）近辺に相転移が観測され、期待通りの挙動を示すが、物理量に系統的偏差が見られる。
• クリティカルコンデンサートは、相転移より低いμ領域でも単調に減少する傾向を示し、期待される定数の維持とは一致しない。これは顕著な偏差を示している。
• プラケットは小スケールμではわずかだが非ゼロの偏差を示すが、大きなμではクォーク数密度が正しく3に飽和している。
• β=5.7の16⁴格子では、CLEのプラケット（0.42374(4)）とクリティカルコンデンサート（0.1738(11)）が、RHMCの結果（0.42305(1)および0.1754(2)）と著しく良好な一致を示している。
• μ=0における系統的誤差はプラケットで約2倍、クリティカルコンデンサートでほぼ10倍にまで低減されており、弱い結合・連続極限においてCLEが正しい結果をもたらす可能性が示唆される。
• β=5.7の16⁴格子におけるμ>0の初期結果も、既知の値との一致がさらに向上しており、CLEが連続極限において有効である可能性を支持する。