[論文レビュー] Complex magnetic monopoles and geometric phases around diabolic and exceptional points

Alexander I. Nesterov, F. Aceves de la Cruz|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2006

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非エルミート系における幾何的位相（GP）を理解するための幾何的枠組みとして、複素磁気モノポールを導入する。特に、特異点（DP）および特異点（EP）の周囲で焦点を当てる。実際、DPにおけるGPは実ディラックモノポールのフラックスによって支配されるが、EPにおけるGPは複素化し、複素モノポールによって記述される。実部は四極子項が支配的であり、虚部は双極子的寄与が支配的であり、DPでは有限なギャップを示し、EPでは発散する。

ABSTRACT

We study the geometric phase (GP)in presence of diabolic (DP) and exceptional (EP) points. While the GP associated with the DP is the flux of the Dirac monopole, the GP related to the EP, being complex one, is described by the flux of complex magnetic monopole. For open systems, in week-coupling limit, the leading environment-induced contribution to the real part of complex GP is given by a quadrupole term, and to its imaginary part by a dipolelike field. We find that the GP has a finite gap at the DP and infinite one at the EP.

研究の動機と目的

• 縮重を伴う非エルミート系への幾何的位相枠組みの拡張を図ること。
• 固有値と固有状態が重なり合う特異点（EP）付近における幾何的位相の物理的起源を明確化すること。
• オープン量子系におけるEPと複素磁気モノポールとの間の関係を確立すること。
• 弱く結合したオープン系における幾何的位相の実部および虚部に対する主要な環境寄与を分析すること。
• EPにおける幾何的位相の特異的振る舞いと、DPにおける有限ギャップを実証すること。

提案手法

• 双直交固有状態および左/右スペクトル分解を用いた非エルミートハミルトニアンに基づく形式的枠組み。
• 複素幾何的位相をモノポール、双極子、四極子寄与に分解するための多重極展開（ルジャンドル多項式）の使用。
• オープン量子系をモデル化するため、非エルミートハミルトニアンを用いた時間に依存するシュレーディンガー方程式の適用。
• パrameter空間における閉ループに沿った経路積分を用いて幾何的位相を導出する。この際、複素モノポール場を組み込む。
• 弱い環境結合をモデル化する2レベル系のパrameterから、複素モノポール場を明示的に構成する。
• ガリソンとリュート（1988年）の先行結果と比較し、複素パrameter空間におけるパラメータ化された閉曲線を用いた検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート系における特異点（EP）の存在下で、幾何的位相はどのように振る舞うか？
• RQ2 固有値と固有状態がEPで重なった場合、幾何的位相の物理的解釈は何か？
• RQ3 弱く開いた系における環境結合は、幾何的位相の実部および虚部にどのように影響を与えるか？
• RQ4 EP近傍の複素幾何的位相は、複素磁気モノポールのフラックスによって記述可能か？
• RQ5 特異点（DP）と特異点（EP）における幾何的位相構造の違いは何か？

主な発見

• 特異点（DP）における幾何的位相は、実ディラックモノポールのフラックスによって支配され、位相スペクトルに有限ギャップを示す。
• 特異点（EP）においては、固有値と固有状態の重なりにより幾何的位相が発散し、位相構造における特異性を示す。
• 複素幾何的位相の実部は四極子項による主要補正を受けるが、虚部は双極子的寄与が支配的である。
• 複素幾何的位相は、複素磁気モノポールのフラックスによって記述され、モノポールの電荷、双極子モーメント、四極子モーメントは系のパラメータから導出される。
• 幾何的位相は特異点（DP）では有限ギャップを示し、特異点（EP）では無限ギャップ（発散）を示し、トポロジカルな挙動の明確な相違を確認する。
• 結果は一般性を持ち、2レベル原子における非対称な崩壊率を示すような、任意の散乱系に適用可能である。