[論文レビュー] Complex manifolds with maximal torus actions

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、組合せ的データ：三重対 $(\Delta, \mathfrak{h}, G)$ を用いて、コンpaktoなトーラスの最大作用を持つコンパクトかつ連結な複素多様体を定義し分類する。ここで $\Delta$ は非特異かつ完全なファン、$\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}^\mathbb{C}$ の複素部分空間、$G$ は特定の条件を満たすコンパクトトーラスである。主な貢献は、トーリック幾何の類似した圏の同値性を確立する完全な分類であり、非ケーラー多様体の新規構成と、複素 $\mathbb{C}^n$-作用の分類を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of maximal actions of compact tori on smooth manifolds and study compact connected complex manifolds equipped with maximal actions of compact tori. We give a complete classification of such manifolds, in terms of combinatorial objects, which are triples $(Δ, \mathfrak{h}, G)$ of nonsingular complete fan $Δ$ in $\mathfrak{g}$, complex vector subspace $\mathfrak{h}$ of $\mathfrak{g}^{\mathbb{C}}$ and compact torus $G$ satisfying certain conditions. We also give an equivalence of categories with suitable definitions of morphisms in these families, like toric geometry. We obtain several results as applications of our equivalence of categories; complex structures on moment-angle manifolds, classification of holomorphic nondegenerate $\mathbb{C}^n$-actions on compact connected complex manifolds of complex dimension $n$, and construction of concrete examples of non-Kähler manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトかつ連結な複素多様体に作用するコンパクトトーラスの最大作用を定義し、研究すること。
• 非特異かつ完全なファン、複素部分空間、コンパクトトーラスを用いた組合せ的データにより、そのような多様体を分類すること。
• これらの多様体の圏と、適切な準同型を備えた組合せ的三重の圏との間の圏の同値性を確立し、トーリック幾何の原理を拡張すること。
• この分類を用いて、非ケーラー多様体を構成し、複素 $n$-多様体上の正則な $\mathbb{C}^n$-作用を分類すること。
• モーメント・アングル多様体、LVMB多様体、局所的コンフォーマルケーラー幾何との関係を調査すること。

提案手法

• 滑らかな多様体における最大トーラス作用の概念を導入し、ある $x$ に対して $\dim G + \dim G_x = \dim M$ を満たすように定義し、複素構造を保存するように複素多様体へ拡張する。
• 三重 $(\Delta, \mathfrak{h}, G)$ を用いてその多様体を特徴づける。ここで $\Delta$ は $\mathfrak{g}$ における非特異かつ完全なファン、$\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}^\mathbb{C}$ は複素部分空間、$G$ は整数性および横断性の条件を満たすコンパクトトーラスである。
• 分解 $\mathfrak{g}^\mathbb{C} = \mathfrak{e}^\mathbb{C} \oplus \mathfrak{f}^\mathbb{C}$ を用いて、多様体を商 $X(\Delta)/H$ として構成する。ここで $H = \exp(p_{\mathfrak{f}^\mathbb{C}}(\mathfrak{h}))$ である。
• 移行関数と主バンドルを定義し、商が $X(\Delta_\mathfrak{f}) \times E$ に微分同相であることを示す。ここで $E$ はコンパクトトーラスである。
• これらの多様体の圏と、適切な準同型を備えた組合せ的三重の圏との間の圏の同値性を確立する。
• この枠組みを用いて、複素 $n$-多様体上の正則かつ非退化な $\mathbb{C}^n$-作用の分類と、非ケーラー多様体の例（モーメント・アングル多様体やLVMB多様体を含む）の構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素構造を保存するコンパクトトーラスの最大作用をもつ、コンパクトかつ連結な複素多様体の完全な分類は何か？
• RQ2 このような多様体の圏は、組合せ的データを用いてどのように同値に記述できるか？
• RQ3 複素多様体に最大トーラス作用が存在する場合、ケーラーであるか非ケーラーであるかの条件は何か？
• RQ4 この枠組みは、特に対角的ホフマン多様体を含む、局所的コンフォーマルケーラー多様体へ拡張可能か？
• RQ5 モーメント・アングル多様体とLVMB多様体は、この分類にどのように適合するか？

主な発見

• 本稿は、非特異かつ完全なファン $\Delta$、$\mathfrak{g}^\mathbb{C}$ の複素部分空間 $\mathfrak{h}$、特定の幾何的および代数的条件を満たすコンパクトトーラス $G$ を持つ組合せ的三重 $(\Delta, \mathfrak{h}, G)$ を用いて、最大トーラス作用をもつコンパクトかつ連結な複素多様体の完全な分類を提供する。
• これらの複素多様体の圏と、ファンおよび部分空間への適合する写像を備えた組合せ的三重の圏との間の圏の同値性が確立されている。
• この枠組みにより、モーメント・アングル多様体やLVMB多様体を含む、非ケーラー多様体の具体的な例の構成が可能である。これらはトーリック多様体の商として実現される。
• 分類には、すべてのコンパクト複素トーラス、非特異かつ完全なトーリック多様体、ホフマン多様体、カービ・エイカン多様体が特別な場合として含まれる。
• 圏の同値性の直接的応用として、複素 $n$-多様体上の正則かつ非退化な $\mathbb{C}^n$-作用が分類される。
• 本稿は、シンプレクティックおよび局所的コンフォーマルケーラー幾何への一般化に関する未解決問題を提示し、動機づけを提供する。特に、シンプレクティックな場合に、最大トーラス作用がトーリック多様体とコンパクトトーラスの積を特徴付ける可能性があると示唆している。