[論文レビュー] Complex Multiplication Tests for Elliptic Curves

Denis Charles|ArXiv.org|Sep 26, 2004

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ℓ-adic表現のガロア群の可解性に着目して、数体上の楕円曲線が複素乗法（CM）を持つかどうかを決定的多項式時間でテストするアルゴリズムを提示する。十分に大きな素数 ℓ に対して、ℓ-torsion体のガロア群が可解であることは、曲線がCMを持つことと同値であることを証明し、Masser-Wüstholzの定理を用いて有効な境界を得る。しかし、実行時間の乗法的定数は依然として非有効的のままである。

ABSTRACT

We consider the problem of checking whether an elliptic curve defined over a given number field has complex multiplication. We study two polynomial time algorithms for this problem, one randomized and the other deterministic. The randomized algorithm can be adapted to yield the discriminant of the endomorphism ring of the curve.

研究の動機と目的

• 数体上の楕円曲線が複素乗法（CM）を持つかどうかを効率的に判定するアルゴリズムを開発すること。
• 従来の確率的手法に対する非ヒューリスティックな代替手法を提供すること。
• ℓ-adicガロア表現の像に基づく決定的多項式時間アルゴリズムを確立すること。
• ℓ-torsion体のガロア群の可解性がCM性質とどのように関連するかを分析すること。

提案手法

• 楕円曲線のℓ-torsion点に関連するガロア表現 ρℓ を用いて、Gal(L(E[ℓ])/L) の構造を分析する。
• ℓ ≥ 5 のとき、GL₂(𝔽ℓ) は非可解であるが、ρℓ の像が可解であることは曲線がCMを持つことと同値であるという事実を活用する。
• E がCMを持たない場合に、ρℓ(G_L) が SL₂(𝔽ℓ) を含む最小の素数 ℓ を、Masser-Wüstholzの定理を用いて境界付ける。
• 固定された ℓ に対して、L(E[ℓ])/L の可解性を、LandauとMillerのアルゴリズムなどの計算代数ツールを用いてチェックする。
• j-不変量のWeil高さを用いて入力サイズを境界付け、多項式時間の複雑性を保証する。
• 有効な定数 c, γ を用いて ℓ > c(max{d, h})^γ を選ぶことで、非CM曲線に対しては非可解なガロア群が得られることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の楕円曲線の複素乗法性は、決定的多項式時間でテスト可能か？
• RQ2 非CM曲線に対して、ℓ-torsion表現のガロア群が非可解になる最小の素数 ℓ は何か？
• RQ3 ガロア群 Gal(L(E[ℓ])/L) の可解性が、CMの検出基準としてどのように利用できるか？
• RQ4 j-不変量のWeil高さは、CMテストアルゴリズムの実行時間の境界付けにどの程度利用可能か？
• RQ5 超特異素数に基づく確率的アルゴリズムを、ガロア表現に関する結果を用いて片側誤差を持つアルゴリズムに変換可能か？

主な発見

• この論文は、数体上の楕円曲線における複素乗法性の決定的多項式時間アルゴリズムを確立した。
• 有効な定数 c, γ を用いて ℓ > c(max{d, h})^γ のとき、ガロア群 Gal(L(E[ℓ])/L) が可解であることは、曲線がCMを持つことと同値である。
• アルゴリズムは、ℓ-adicガロア表現の像がCMを持つときのみ可解であり、そうでなければ大きな ℓ に対して非可解であるという事実に依拠している。
• j-不変量のWeil高さは、入力サイズに対して多項式的に境界付けられ、多項式時間の符号化を保証する。
• 従来の手法とは異なり、未解決のヒューリスティック仮定に依存せず、厳密な手法である。
• 実行時間は多項式的ではあるが、類数に関する境界の現在の状態により、指数部の乗法的定数は依然として非有効的のままである。