[論文レビュー] Complex Number Formulation and Convex Relaxations for Aircraft Conflict Resolution

David Rey, Hassan Hijazi|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Spacecraft Dynamics and Control被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、速度および航法制御を2次制約としてモデル化する複素数形式を導入し、MIQPおよびMIQCPによるタイトな凸緩和を可能にする。この手法により、従来未解決であったインスタンスのグローバル最適性が達成され、標準ベンチマークにおいて計算時間を最大2桁短縮する。

ABSTRACT

We present a novel complex number formulation along with tight convex relaxations for the aircraft conflict resolution problem. Our approach combines both speed and heading control and provides global optimality guarantees despite non-convexities in the feasible region. As a side result, we present a new characterization of the conflict separation condition in the form of disjunctive linear constraints. Our formulation features one binary variable per pair of aircraft, is free of trigonometric functions, and captures the non-convexity in a set of quadratic concave constraints. Using our approach, we are able to close a number of open instances and reduce computational time by up to two orders of magnitude on standard instances.

研究の動機と目的

• 速度および航法制御における三角関数的制約に起因する非凸性を解消する。
• 非凸な実行可能領域に対しても最適性を保証するグローバル最適化フレームワークを構築する。
• 従来の手法では未解決であった標準ベンチマークセット内の未解決インスタンスを解消する。
• 最先端の正確なアプローチと比較して、計算時間を大幅に短縮する。
• 40機までの航空機を扱えるスケーラブルなソリューションを提供し、3段階のアルゴリズム戦略を採用する。

提案手法

• 速度制御を複素数で表現することで、速度と航向の調整を統合的な数学的枠組みに統合する。
• 相対的位置および速度ベクトルに基づく論理和線形制約として、衝突分離条件を定式化する。
• 交差点における航空機の通過順序を捉える1つの論理和を用いて、軌道の交差をモデル化する。
• 混合整数二次計画法（MIQP）および混合整数二次制約付き計画法（MIQCP）として、凸緩和を導出する。
• 3段階のアルゴリズムを実装：まずMIQP緩和を解き、必要に応じてMIQCPを実行し、残差ギャップが残る場合はNLPで局所解を求める。
• 境界違反制約を用いてヒューリスティック回復を誘導し、高密度衝突状況における解の品質を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数形式は、航空機衝突回避における速度および航向制御の非凸ダイナミクスを効果的に捉えることができるか？
• RQ2 MIQPおよびMIQCPによる凸緩和は、真の非凸問題をどれほどタイトに近似できるか。また、グローバル最適性を達成できるか？
• RQ3 提案手法は、従来の正確なアプローチでは不適切であった未解決のベンチマークインスタンスを解消できるか？
• RQ4 既存の最先端アルゴリズムと比較して、計算時間はどの程度短縮されるか？
• RQ5 40機までの航空機を含む高密度衝突状況において、アルゴリズムの性能はいかがなものか？

主な発見

• 10機および20機のランダムサークル問題（RCP）インスタンスは、平均1秒以内でグローバル最適に解決された。
• 30機のRCPインスタンスでは、1ステップ目で71%がグローバル最適に解決され、追加で12%が2ステップ目で解決された。残り17%の平均最適性ギャップは4.8%であった。
• 40機のRCPインスタンスでは、グローバル最適に解決されたのは17%にとどまったが、75%が局所最適に到達し、平均最適性ギャップは13.9%、標準偏差は16.1%であった。
• 標準ベンチマーク問題において、既存のアプローチと比較して計算時間を最大2桁短縮した。
• 複数の未解決インスタンスが正常に解消され、従来の7機の限界を超えて、研究の最先端を拡張した。
• 10機および20機のインスタンスではMIQP緩和が100%で十分であったが、30機インスタンスの17%および40機インスタンスの75%では、境界違反が顕著であったためMIQCPが必要となった。